Differenzierbare Kurve/Euklidisch/Mittelwertsatz/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn  $f(a)=f(b)$  ist, so ist die Aussage trivialerweise richtig. Es sei also  $f(a)\ne f(b)$.  Dann ist  $u_1=\frac{f(b)-f(a)}{\Vert f(b)-f(a)\Vert }$  nach dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren Teil einer Orthonormalbasis von $V$. Es seien $f_1,\dots ,f_n$ die Komponentenfunktionen von $f$ bezüglich dieser Basis. Wir wenden den Mittelwertsatz für eine Variable auf die erste Komponentenfunktion $f_1$ an. Es gibt also ein  $c\in ]a,b[$  mit der Eigenschaft

$f_1(b)-f_1(a)=(b-a)\cdot {f_1}^{\prime }(c)$

und damit auch

$|f_1(b)-f_1(a)|=|b-a|\cdot |{f_1}^{\prime }(c)|.$

Da man die Längenmessung mit jeder Orthonormalbasis durchführen kann, gilt

$\begin{array}{cc}\Vert f(b)-f(a)\Vert & =\Vert (f_1(b)-f_1(a))u_1\Vert \\ & =|f_1(b)-f_1(a)|\\ & =|b-a|\cdot |{f_1}^{\prime }(c)|\\ & \le |b-a|\cdot \sqrt{\sum _{i=1}^n{({f_i}^{\prime }(c))}^2}\\ & =|b-a|\cdot \Vert f^{\prime }(c)\Vert .\end{array}$

Zur bewiesenen Aussage