Differenzierbare Kurve/Euklidisch/Mittelwertsatz/Fakt/Beweis

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Beweis

Wenn ist, so ist die Aussage trivialerweise richtig. Sei also . Dann ist nach dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren Teil einer Orthonormalbasis von . Es seien die Komponentenfunktionen von bezüglich dieser Basis. Wir wenden den Mittelwertsatz für eine Variable auf die erste Komponentenfunktion an. Es gibt also ein mit der Eigenschaft

und damit auch

Da man die Längenmessung mit jeder Orthonormalbasis durchführen kann, gilt

Zur bewiesenen Aussage