Differenzierbare Kurve/Euklidisch/Mittelwertsatz/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn  ${}f(a)=f(b)$  ist, so ist die Aussage trivialerweise richtig. Es sei also  ${}f(a)\neq f(b)$.  Dann ist  ${}u_{1}={\frac {f(b)-f(a)}{\Vert {f(b)-f(a)}\Vert }}$  nach dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren Teil einer Orthonormalbasis von ${}V$. Es seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ die Komponentenfunktionen von ${}f$ bezüglich dieser Basis. Wir wenden den Mittelwertsatz für eine Variable auf die erste Komponentenfunktion ${}f_{1}$ an. Es gibt also ein  ${}c\in {]a,b[}$  mit der Eigenschaft

${}f_{1}(b)-f_{1}(a)=(b-a)\cdot f_{1}'(c)\,$

und damit auch

${}\vert {f_{1}(b)-f_{1}(a)}\vert =\vert {b-a}\vert \cdot \vert {f_{1}'(c)}\vert \,.$

Da man die Längenmessung mit jeder Orthonormalbasis durchführen kann, gilt

${}{\begin{aligned}\Vert {f(b)-f(a)}\Vert &=\Vert {(f_{1}(b)-f_{1}(a))u_{1}}\Vert \\&=\vert {f_{1}(b)-f_{1}(a)}\vert \\&=\vert {b-a}\vert \cdot \vert {f_{1}'(c)}\vert \\&\leq \vert {b-a}\vert \cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{\left(f_{i}'(c)\right)}^{2}}}\\&=\vert {b-a}\vert \cdot \Vert {f'(c)}\Vert .\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage