Beweis
Wenn
ist, so ist die Aussage trivialerweise richtig. Es sei also
.
Dann ist
nach dem
Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren
Teil einer
Orthonormalbasis
von
. Es seien
die
Komponentenfunktionen
von
bezüglich dieser Basis. Wir wenden den
Mittelwertsatz für eine Variable
auf die erste Komponentenfunktion
an. Es gibt also ein
mit der Eigenschaft
-
![{\displaystyle {}f_{1}(b)-f_{1}(a)=(b-a)\cdot f_{1}'(c)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a80120efd3f75a1e7a4ff7c413b1b62e33e3f09)
und damit auch
-
![{\displaystyle {}\vert {f_{1}(b)-f_{1}(a)}\vert =\vert {b-a}\vert \cdot \vert {f_{1}'(c)}\vert \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cba80c902abf6138fbf3a85eed65de44d437f38)
Da man die Längenmessung mit jeder Orthonormalbasis durchführen kann, gilt
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\Vert {f(b)-f(a)}\Vert &=\Vert {(f_{1}(b)-f_{1}(a))u_{1}}\Vert \\&=\vert {f_{1}(b)-f_{1}(a)}\vert \\&=\vert {b-a}\vert \cdot \vert {f_{1}'(c)}\vert \\&\leq \vert {b-a}\vert \cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{\left(f_{i}'(c)\right)}^{2}}}\\&=\vert {b-a}\vert \cdot \Vert {f'(c)}\Vert .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c74eb305df5f1b7fe97f6f408e352bb0951916b)