Differenzierbare Kurven/Euklidisch/Lineare Abbildung/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}t_{0}\in I$ fixiert und sei ${}t\in I$, ${}t\neq t_{0}$. Wegen der Linearität ist

${}L{\left({\frac {f(t)-f(t_{0})}{t-t_{0}}}\right)}={\frac {L(f(t))-L(f(t_{0}))}{t-t_{0}}}\,.$

D.h. der Differenzenquotient zu ${}L\circ f$ ist gleich dem Wert unter ${}L$ des Differenzenquotienten zu ${}f$. Wegen der Voraussetzung und der Stetigkeit einer linearen Abbildung existiert der Limes links für ${}t\rightarrow t_{0}$, also existiert auch der Limes rechts, und das bedeutet, dass der Differentialquotient der zusammengesetzten Abbildung ${}L\circ f$ existiert und mit dem Wert unter ${}L$ des Differentialquotienten zu ${}f$ übereinstimmt.

Zur bewiesenen Aussage