Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Funktionskeim in einem Punkt/Äquivalenz und Ringstruktur/Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Wir betrachten die folgende Menge.

$T={\left\{(U,f)\mid U\subseteq M{\text{ offen}},\,P\in U,\,f\in C^{1}(U,\mathbb {R} )\right\}}.$

Wir betrachten die Relation

$(U,f)\sim (V,g):{\text{ es gibt eine offene Menge }}W{\text{ mit }}P\in W\subseteq U\cap V{\text{ mit }}f{|}_{W}=g{|}_{W}.$

1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf ${}T$ ist.
2. Zeige, dass es eine natürliche Ringstruktur auf der Menge der Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation gibt.

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