Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Definition

Positive Volumenform

Es sei ${}M$ eine ${}n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ eine messbare ${}n$-Differentialform auf ${}M$. Dann heißt ${}\omega$ eine positive Volumenform, wenn für jede Karte (eines gegebenen Atlases)

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

(mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und Koordinatenfunktionen $x_{1},\ldots ,x_{n}$) in der lokalen Darstellung der Differentialform

${}\alpha _{*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$

die Funktion ${}f$ überall positiv ist.