Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Lokale Beschreibung/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt und Fakt ist

{}{\begin{aligned}\nabla _{\sum _{i=1}^{n}h_{i}\partial _{i}}{\left(\sum _{j=1}^{r}f_{j}s_{j}\right)}&=\sum _{i,j}h_{i}\nabla _{\partial _{i}}{\left(f_{j}s_{j}\right)}\\&=\sum _{i,j}h_{i}{\left(s_{j}\otimes \partial _{i}f_{j}+f_{j}\nabla _{\partial _{i}}(s_{j})\right)}\\&=\sum _{i,j}h_{i}s_{j}\partial _{i}f_{j}+\sum _{i,j,k}h_{i}f_{j}\Gamma _{ij}^{k}s_{k}\\&=\sum _{k}{\left(\sum _{i=1}^{n}h_{i}\partial _{i}f_{k}+\sum _{i,j}h_{i}f_{j}\Gamma _{ij}^{k}\right)}s_{k}.\end{aligned}}