Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Ableitung bezüglich Vektorfeld/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es bezeichne

$\nabla _{F}\colon C^{1}(E)\longrightarrow C^{0}(E)$

den zugehörigen Ableitungsoperator zu einem Vektorfeld ${}F$. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

1. ${}{\left(\nabla _{F}(s)\right)}(P)$ hängt nur von ${}F(P)$ (und ${}s$ ab).
2. Es ist

   ${}\nabla _{g_{1}F_{1}+g_{2}F_{2}}=g_{1}\nabla _{F_{1}}+g_{2}\nabla _{F_{2}}\,$

   für Vektorfelder ${}F_{1},F_{2}$ und Funktionen ${}g_{1},g_{2}\colon X\rightarrow \mathbb {R}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen