Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangential äquivalent/Jede Karte/Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Es sei ${}0\in I$ ein offenes reelles Intervall und es seien

\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M

zwei differenzierbare Kurven mit ${}\gamma _{1}(0)=P=\gamma _{2}(0)$ . Zeige, dass ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ genau dann tangential äquivalent in ${}P$ sind, wenn für jede Karte

\alpha \colon U\longrightarrow V

mit

{}P\in U

und

{}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}

die Gleichheit

{}(\alpha \circ (\gamma _{1}{|}_{\gamma _{1}^{-1}(U)}))'(0)=(\alpha \circ (\gamma _{2}{|}_{\gamma _{2}^{-1}(U)}))'(0)\,

gilt.