Differenzierbarkeit/K/Lineare Approximierbarkeit/Textabschnitt
Es sei offen, ein Punkt und
eine Funktion.
Dann ist in genau dann differenzierbar, wenn es ein und eine Funktion
gibt mit stetig in und und mit
Wenn differenzierbar ist, so setzen wir
Für die Funktion muss notwendigerweise
gelten, um die Bedingungen zu erfüllen. Aufgrund der Differenzierbarkeit existiert der Limes
und hat den Wert . Dies bedeutet, dass in stetig ist.
Wenn umgekehrt
und
mit den angegebenen Eigenschaften existieren, so gilt für
die Beziehung
Da stetig in ist, muss auch der Limes links für existieren.
Die in diesem Satz formulierte Eigenschaft, die zur Differenzierbarkeit äquivalent ist, nennt man auch die lineare Approximierbarkeit. Die affin-lineare Abbildung
heißt dabei die affin-lineare Approximation. Ihr Graph heißt die Tangente an im Punkt . Die durch gegebene konstante Funktion kann man als konstante Approximation ansehen. Das Konzept der linearen Approximierbarkeit erlaubt es, die Differenzierbarkeit auf die Stetigkeit (einer anderen Funktion) zurückzuführen und dadurch verschiedene Rechenregeln einfach beweisen zu können.