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Differenzierbarkeit/K/Lineare Approximierbarkeit/Textabschnitt

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Es sei offen, ein Punkt und

eine Funktion.

Dann ist in genau dann differenzierbar, wenn es ein und eine Funktion

gibt mit stetig in und und mit

Wenn differenzierbar ist, so setzen wir

Für die Funktion muss notwendigerweise

gelten, um die Bedingungen zu erfüllen. Aufgrund der Differenzierbarkeit existiert der Limes

und hat den Wert . Dies bedeutet, dass in stetig ist.
Wenn umgekehrt und mit den angegebenen Eigenschaften existieren, so gilt für die Beziehung

Da stetig in ist, muss auch der Limes links für existieren.


Die in diesem Satz formulierte Eigenschaft, die zur Differenzierbarkeit äquivalent ist, nennt man auch die lineare Approximierbarkeit. Die affin-lineare Abbildung

heißt dabei die affin-lineare Approximation. Ihr Graph heißt die Tangente an im Punkt . Die durch gegebene konstante Funktion kann man als konstante Approximation ansehen. Das Konzept der linearen Approximierbarkeit erlaubt es, die Differenzierbarkeit auf die Stetigkeit (einer anderen Funktion) zurückzuführen und dadurch verschiedene Rechenregeln einfach beweisen zu können.


Es sei offen, ein Punkt und

eine Funktion, die im Punkt differenzierbar sei.

Dann ist stetig in .

Dies folgt direkt aus Fakt.