Differenzierbarkeit/K/Partielle Ableitungen hängen von Koordinaten ab/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung $f : 𝕂^{3} \to 𝕂$ , die durch

(x, y, z) ⟼ 2 x y^{2} + x^{2} z^{3} + z^{2}

gegeben sei. Es ist leicht, die partiellen Ableitungen in jedem Punkt zu berechnen, nämlich:

{(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})}_{(x, y, z)} = (2 y^{2} + 2 x z^{3}, 4 x y, 3 x^{2} z^{2} + 2 z) .

Da diese alle stetig sind, haben wir nach Fakt das totale Differential in jedem Punkt gefunden.

Nehmen wir nun an, dass wir nur an der Restriktion dieser Funktion auf die Ebene

E \subset 𝕂^{3}, E = {(x, y, z) ∣ 3 x + 2 y - 5 z = 0}

interessiert sind. $E$ ist also der Kern der linearen Abbildung

L : 𝕂^{3} ⟶ 𝕂, (x, y, z) ⟼ 3 x + 2 y - 5 z .

Als Kern ist $E$ selbst ein (zweidimensionaler) Vektorraum. Die Einschränkung von $f$ auf die Ebene ergibt also die Abbildung

\tilde{f} = f |_{E} : E ⟶ 𝕂 .

Diese Abbildung kann man als die Komposition $E \subset 𝕂^{3} \to 𝕂$ auffassen und diese ist nach der Kettenregel differenzierbar. Wenn wir die Inklusion von $E$ in $𝕂^{3}$ mit $N$ bezeichnen, so ist das totale Differential der Komposition in einem Punkt $P \in E$ gemäß der Kettenregel gerade die Abbildung

{(D \tilde{f})}_{P} = {(D f)}_{P} \circ N : E ⟶ 𝕂 .

Daher ergibt es hier Sinn vom totalen Differential zu sprechen.

Es ergibt allerdings keinen Sinn von partiellen Ableitungen der Abbildung $f |_{E} : E \to 𝕂$ zu sprechen, da es keine natürliche Basis auf $E$ gibt und daher auch keine natürlichen Koordinaten. Es ist leicht eine Basis von $E$ zu finden und damit Koordinaten, es gibt aber keine „beste Wahl“, und die partiellen Ableitungen sehen in jeder Basis verschieden aus.

Eine Basis von $E$ ist beispielsweise durch $v_{1} = (0, 5, 2)$ und $v_{2} = (5, 0, 3)$ gegeben, und eine weitere durch $w_{1} = (1, 1, 1)$ und $w_{2} = (2, - 3, 0)$ . Mit solchen Basen erhalten wir Identifikationen $𝕂^{2} \to E$ und somit numerische Beschreibungen der Abbildung $𝕂^{2} ≅ E \to 𝕂$ , womit wir die partiellen Ableitungen bezüglich der gewählten Basen berechnen können.

In der ersten Basis ist die Identifikation gegeben durch die Abbildung

(s, t) ⟼ s v_{1} + t v_{2} = s (0, 5, 2) + t (5, 0, 3) = (5 t, 5 s, 2 s + 3 t)

und dieser Ausdruck wird durch $f$ abgebildet auf

\begin{matrix} 2 (5 t) (5 s)^{2} + (5 t)^{2} (2 s + 3 t)^{3} + (2 s + 3 t)^{2} & = 250 t s^{2} + 25 t^{2} (8 s^{3} + 36 s^{2} t + 54 s t^{2} + 27 t^{3}) + 4 s^{2} + 9 t^{2} + 12 s t \\ = 250 t s^{2} + 200 s^{3} t^{2} + 900 s^{2} t^{3} + 1350 s t^{4} + 675 t^{5} + 4 s^{2} + 9 t^{2} + 12 s t . \end{matrix}

Die partiellen Ableitungen dieser Komposition (nennen wir sie $g$ ) bezüglich dieser Basis sind gegeben durch

\partial g / \partial s = 500 t s + 600 s^{2} t^{2} + 1800 s t^{3} + 1350 t^{4} + 8 s + 12 t

und

\partial g / \partial t = 250 s^{2} + 400 s^{3} t + 2700 s^{2} t^{2} + 5400 s t^{3} + 3375 t^{4} + 18 t + 12 s .

In der zweiten Basis $w_{1} = (1, 1, 1)$ und $w_{2} = (2, - 3, 0)$ ist die Identifikation gegeben durch

(r, u) ⟼ r w_{1} + u w_{2} = r (1, 1, 1) + u (2, - 3, 0) = (r + 2 u, r - 3 u, r)

und dieser Ausdruck wird unter $f$ abgebildet auf

\begin{matrix} 2 (r + 2 u) (r - 3 u)^{2} + (r + 2 u)^{2} r^{3} + r^{2} & = 2 r^{3} + 4 r^{2} u - 12 r^{2} u - 24 r u^{2} + 18 r u^{2} + 36 u^{3} + r^{5} + 4 r^{4} u + 4 r^{3} u^{2} + r^{2} \\ = 2 r^{3} - 8 r^{2} u - 6 r u^{2} + 36 u^{3} + r^{5} + 4 r^{4} u + 4 r^{3} u^{2} + r^{2} . \end{matrix}

Die partiellen Ableitungen der Komposition (nennen wir sie $h$ ) bezüglich dieser Basis sind

\partial h / \partial r = 6 r^{2} - 16 r u - 6 u^{2} + 5 r^{4} + 16 r^{3} u + 12 r^{2} u^{2} + 2 r

und

\partial h / \partial u = - 8 r^{2} - 12 r u + 108 u^{2} + 4 r^{4} + 8 r^{3} u .

Fazit: Koordinaten sind manchmal gut für Berechnungen, manchmal verdunklen sie aber auch den eigentlichen mathematischen Sachverhalt.