Differenzierbarkeit/K/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt

Es sei $G \subseteq 𝕂^{n}$ offen und $φ : G \to 𝕂^{m}$ eine Abbildung. Es seien $x_{i}$ , $i = 1, \dots, n$ , die Koordinaten von $𝕂^{n}$ und $P \in G$ ein Punkt. Es sei angenommen, dass alle partiellen Ableitungen von $φ$ in einer offenen Umgebung von $P$ existieren und in $P$ stetig sind.

Dann ist $φ$ in $P$ (total) differenzierbar.

Ist die Abbildung $φ$ bezüglich der Standardbasis des $𝕂^{m}$ durch die Koordinatenfunktionen $f_{1}, \dots, f_{m}$ gegeben, so wird unter diesen Bedingungen das totale Differential in $P$ durch die Jacobi-Matrix

{(\frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}} (P))}_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m}

beschrieben.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen