Differenzierbarkeit/K/Summe differenzierbarer Abbildungen ist differenzierbar/Fakt

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume und es sei  ${}G\subseteq V$  eine offene Teilmenge. Es seien ${}\varphi _{1},\varphi _{2}\colon G\rightarrow W$ im Punkt  ${}P\in G$  differenzierbare Abbildungen mit den totalen Differentialen ${}\left(D\varphi _{1}\right)_{P}$ und ${}\left(D\varphi _{2}\right)_{P}$.

Dann ist auch  ${}\varphi =\varphi _{1}+\varphi _{2}$  in ${}P$ differenzierbar und es gilt

${}\left(D(\varphi _{1}+\varphi _{2})\right)_{P}=\left(D\varphi _{1}\right)_{P}+\left(D\varphi _{2}\right)_{P}\,.$

Ebenso gilt  ${}\left(D(a\varphi _{1})\right)_{P}=a\left(D\varphi _{1}\right)_{P}$  für alle  ${}a\in {\mathbb {K} }$. 

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen