Differenzierbarkeit/K/Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Da ${\left(D\phi \right)}_P$ eine lineare Abbildung von $V$ nach $W$ ist, liefert die Anwendung dieser Abbildung auf einen Vektor  $v\in V$  einen Vektor  ${\left(D\phi \right)}_P\left(v\right)\in W$.  Nach Voraussetzung haben wir

$\phi (P+v)=\phi (P)+{\left(D\phi \right)}_P\left(v\right)+\Vert v\Vert \cdot r(v)$

(mit den üblichen Bedingungen an $r$). Insbesondere gilt für (hinreichend kleines)  $s\in 𝕂$ 

$\phi (P+sv)=\phi (P)+s{\left(D\phi \right)}_P\left(v\right)+|s|\cdot \Vert v\Vert \cdot r(sv).$

Also gilt

$\begin{array}{cc}{\lim }_{s\to 0,s\ne 0}\frac{\phi (P+sv)-\phi (P)}{s}& ={\lim }_{s\to 0,s\ne 0}\frac{s{\left(D\phi \right)}_P\left(v\right)+|s|\cdot \Vert v\Vert \cdot r(sv)}{s}\\ & ={\lim }_{s\to 0,s\ne 0}({\left(D\phi \right)}_P\left(v\right)+\frac{|s|}{s}\Vert v\Vert \cdot r(sv))\\ & ={\left(D\phi \right)}_P\left(v\right),\end{array}$

da  ${\lim }_{s\to 0}r(sv)=0$  und der Ausdruck $\frac{|s|}{s}\Vert v\Vert$ beschränkt ist.

Zur bewiesenen Aussage