Differenzierbarkeit/R/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Indem wir $G$ durch eine eventuell kleinere offene Umgebung von $P$ ersetzen, können wir annehmen, dass auf $G$ die Richtungsableitungen

Q ⟼ (D_{i} φ) (Q) := (D_{e_{i}} φ) (Q) = (\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{i}} (Q) \\ ⋮ \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{i}} (Q) \end{matrix}) \in ℝ^{m}

existieren und in $P$ stetig sind. Daher ist nach Fakt die lineare Abbildung

ℝ^{n} ⟶ ℝ^{m}, v = (v_{1}, \dots, v_{n}) ⟼ \sum_{i = 1}^{n} v_{i} (D_{i} φ) (P),

der einzige Kandidat für das totale Differential. Daher müssen wir zeigen, dass diese lineare Abbildung die definierende Eigenschaft des totalen Differentials besitzt. Setze $P_{i} := P + v_{1} e_{1} + \dots + v_{i} e_{i}$ (abhängig von $v$ ). Dann gelten mit dem Ansatz

r (v) := \frac{φ (P + v) - φ (P) - \sum_{i = 1}^{n} v_{i} (D_{i} (φ)) (P)}{‖ v ‖}

(für $v$ hinreichend klein) die Abschätzungen

\begin{matrix} ‖ r (v) ‖ & = \frac{‖ φ (P + v) - φ (P) - \sum_{i = 1}^{n} v_{i} (D_{i} (φ)) (P) ‖}{‖ v ‖} \\ = \frac{‖ \sum_{i = 1}^{n} (φ (P_{i}) - φ (P_{i - 1}) - v_{i} (D_{i} (φ)) (P)) ‖}{‖ v ‖} \\ \leq \sum_{i = 1}^{n} \frac{‖ φ (P_{i}) - φ (P_{i - 1}) - v_{i} (D_{i} (φ)) (P) ‖}{‖ v ‖} \\ = \sum_{i = 1}^{n} \frac{‖ φ (P_{i - 1} + v_{i} e_{i}) - φ (P_{i - 1}) - v_{i} (D_{i} (φ)) (P) ‖}{‖ v ‖} . \end{matrix}

Wir betrachten jeden Summanden einzeln. Für fixiertes $i$ ist die Abbildung (die auf dem Einheitsintervall definiert ist)

h_{i} : s ⟼ φ (P_{i - 1} + s v_{i} e_{i}) - s v_{i} (D_{i} (φ)) (P)

differenzierbar (aufgrund der Existenz der partiellen Ableitungen auf $G$ ) mit der Ableitung

s ⟼ v_{i} (D_{i} (φ)) (P_{i - 1} + s v_{i} e_{i}) - v_{i} (D_{i} (φ)) (P) .

Nach der Mittelwertabschätzung existiert eine reelle Zahl

0 \leq c_{i} \leq 1,

sodass (dies ist die Norm von $h_{i} (1) - h_{i} (0)$ )

\begin{matrix} ‖ φ (P_{i - 1} + v_{i} e_{i}) - φ (P_{i - 1}) - v_{i} (D_{i} (φ)) (P) ‖ & \leq ‖ v_{i} (D_{i} (φ)) (P_{i - 1} + c_{i} v_{i} e_{i}) - v_{i} (D_{i} (φ)) (P) ‖ \\ = | v_{i} | \cdot ‖ (D_{i} (φ)) (P_{i - 1} + c_{i} v_{i} e_{i}) - (D_{i} (φ)) (P) ‖ \\ \leq ‖ v ‖ \cdot ‖ (D_{i} (φ)) (P_{i - 1} + c_{i} v_{i} e_{i}) - (D_{i} (φ)) (P) ‖ \end{matrix}

gilt. Aufsummieren liefert also, dass unser Ausdruck $‖ r (v) ‖$ nach oben beschränkt ist durch

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} \frac{‖ v ‖ \cdot ‖ (D_{i} (φ)) (P_{i - 1} + c_{i} v_{i} e_{i}) - (D_{i} (φ)) (P) ‖}{‖ v ‖} & \leq \sum_{i = 1}^{n} ‖ (D_{i} (φ)) (P_{i - 1} + c_{i} v_{i} e_{i}) - (D_{i} (φ)) (P) ‖ . \end{matrix}

Da die partiellen Ableitungen $D_{i} (φ)$ stetig in $P$ sind, wird die Summe rechts mit $v$ beliebig klein, da dann $P_{i - 1} + c_{i} v_{i} e_{i}$ gegen $P$ konvergiert. Also ist der Grenzwert für $v \to 0$ gleich $0$ .

Zur bewiesenen Aussage