Differenzierbarkeit/R/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Indem wir ${}G$ durch eine eventuell kleinere offene Umgebung von ${}P$ ersetzen, können wir annehmen, dass auf ${}G$ die Richtungsableitungen

$Q\longmapsto (D_{i}\varphi )(Q):={\left(D_{e_{i}}\varphi \right)}{\left(Q\right)}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(Q)\\\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(Q)\end{pmatrix}}\in {\mathbb {R} }^{m}$

existieren und in ${}P$ stetig sind. Daher ist nach Fakt die lineare Abbildung

${\mathbb {R} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{m},\,v=(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}v_{i}(D_{i}\varphi )(P),$

der einzige Kandidat für das totale Differential. Daher müssen wir zeigen, dass diese lineare Abbildung die definierende Eigenschaft des totalen Differentials besitzt. Setze ${}P_{i}:=P+v_{1}e_{1}+\cdots +v_{i}e_{i}$ (abhängig von ${}v$). Dann gelten mit dem Ansatz

${}r(v):={\frac {\varphi (P+v)-\varphi (P)-\sum _{i=1}^{n}v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)}{\Vert {v}\Vert }}\,$

(für ${}v$ hinreichend klein) die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}\Vert {r(v)}\Vert &={\frac {\Vert {\varphi (P+v)-\varphi (P)-\sum _{i=1}^{n}v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}\\&={\frac {\Vert {\sum _{i=1}^{n}(\varphi (P_{i})-\varphi (P_{i-1})-v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P))}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}\\&\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {\Vert {\varphi (P_{i})-\varphi (P_{i-1})-v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\Vert {\varphi (P_{i-1}+v_{i}e_{i})-\varphi (P_{i-1})-v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}.\end{aligned}}$

Wir betrachten jeden Summanden einzeln. Für fixiertes ${}i$ ist die Abbildung (die auf dem Einheitsintervall definiert ist)

$h_{i}:s\longmapsto \varphi (P_{i-1}+sv_{i}e_{i})-sv_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)$

differenzierbar (aufgrund der Existenz der partiellen Ableitungen auf ${}G$) mit der Ableitung

$s\longmapsto v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P_{i-1}+sv_{i}e_{i})-v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P).$

Nach der Mittelwertabschätzung existiert eine reelle Zahl

${}0\leq c_{i}=1\,,$

sodass (dies ist die Norm von $h_{i}(1)-h_{i}(0)$)

${}{\begin{aligned}\Vert {\varphi (P_{i-1}+v_{i}e_{i})-\varphi (P_{i-1})-v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert &\leq \Vert {v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P_{i-1}+c_{i}v_{i}e_{i})-v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert \\&=\vert {v_{i}}\vert \cdot \Vert {(D_{i}(\varphi ))(P_{i-1}+c_{i}v_{i}e_{i})-(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert \\&\leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {(D_{i}(\varphi ))(P_{i-1}+c_{i}v_{i}e_{i})-(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert \,\end{aligned}}$

gilt. Aufsummieren liefert also, dass unser Ausdruck ${}\Vert {r(v)}\Vert$ nach oben beschränkt ist durch

${}{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {(D_{i}(\varphi ))(P_{i-1}+c_{i}v_{i}e_{i})-(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}&\leq \sum _{i=1}^{n}\Vert {(D_{i}(\varphi ))(P_{i-1}+c_{i}v_{i}e_{i})-(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert \\\,\end{aligned}}$

Da die partiellen Ableitungen ${}D_{i}(\varphi )$ stetig in ${}P$ sind, wird die Summe rechts mit ${}v$ beliebig klein, da dann ${}P_{i-1}+c_{i}v_{i}e_{i}$ gegen ${}P$ konvergiert. Also ist der Grenzwert für ${}v\rightarrow 0$ gleich ${}0$.

Zur bewiesenen Aussage