Differenzierbarkeit/R/Totale Differenzierbarkeit impliziert partielle Differenzierbarkeit/Jacobi-Matrix/Bemerkung

Es sei  $G\subseteq {ℝ}^n$  offen und $f:G\to {ℝ}^m$ eine in  $P\in G$  total differenzierbare Abbildung. Dann existieren nach Fakt und nach Fakt die partiellen Ableitungen

$\frac{\partial f_j}{\partial x_i}$

im Punkt $P$. Daher existiert die Jacobi-Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(P)& \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(P)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(P)& \dots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(P)\end{array}\right).$

Diese Matrix beschreibt das totale Differential bezüglich der Standardbasen im ${ℝ}^n$ und ${ℝ}^m$. Es ist ja nach Fakt und Fakt

${\left(Df\right)}_P\left(e_i\right)=\left(D_{e_i}f\right)\left(P\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f_1}{\partial x_i}(P)\\ ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_i}(P)\end{array}\right)$

und dies ist die $i$-te Spalte der Jacobimatrix. Durch diese Eigenschaft ist aber die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung bezüglich einer Basis festgelegt.