Differenzierbarkeit/R/Zusammenhang zwischen partieller Ableitung und Richtungsableitung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})$. Wir können uns wegen Fakt auf eine einzige Komponentenfunktion ${}f_{j}$ beschränken. Da partielle Ableitungen die Ableitungen von Funktionen in einer Variablen sind, ergibt sich

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)&=\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {f_{j}(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+s,a_{i+1},\ldots ,a_{n})-f_{j}(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n})}{s}}\\&=\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {f_{j}(P+se_{i})-f_{j}(P)}{s}}\\&={\left(D_{e_{i}}f_{j}\right)}{\left(P\right)}.\,\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage