Direkter Summand/Spektrumsabbildung/Surjektiv/Fakt/Beweis2

Beweis

Es sei

${}S\cong R\oplus V\,$

mit einem ${}R$-Modul ${}V$. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal von ${}R$. Nach Aufgabe und nach Aufgabe sind auch

$R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow S_{R\setminus {\mathfrak {p}}}=R_{\mathfrak {p}}\oplus V_{\mathfrak {p}}$

und

$\kappa ({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow S_{R\setminus {\mathfrak {p}}}/{\left({\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\right)}S_{R\setminus {\mathfrak {p}}}=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\oplus V_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}V_{\mathfrak {p}}$

direkte Summanden. Daher ist insbesondere der Ring rechts nicht ${}0$ und somit ist nach Fakt  (6) und nach Fakt die Faser über ${}{\mathfrak {p}}$ nicht leer.

Zur bewiesenen Aussage