Diskrete Bewertungsringe/Charakterisierung/1/Fakt/Beweis

Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$ folgt direkt aus der Definition.

$(2)\Rightarrow (3)$ folgt aus Fakt.

$(3)\Rightarrow (4)$ folgt aus Fakt.

$(4)\Rightarrow (5)$. Es sei $f\in 𝔪$, $f\ne 0$. Dann ist $R/(f)$ ein noetherscher lokaler Ring mit nur einem Primideal (nämlich $\widetilde{𝔪}=𝔪R/(f)$). Daher gibt es nach Fakt ein  $n\in \mathbb{N}$  mit  ${\widetilde{𝔪}}^n=0$.  Zurückübersetzt nach $R$ heißt das, dass  ${𝔪}^n\subseteq (f)$  gilt. Wir wählen $n$ minimal mit den Eigenschaften

${𝔪}^n\subseteq (f)\text{ und }{𝔪}^{n-1}\subseteq ̸(f).$

Wähle $g\in {𝔪}^{n-1}$ mit $g\in ̸(f)$ und betrachte

$h:=\frac{f}{g}\in Q(R)$

(es ist $g\ne 0$). Das Inverse, also  $h^{-1}=\frac{g}{f}$,  gehört nicht zu $R$, sonst wäre  $g\in (f)$.  Da $R$ nach Voraussetzung normal ist, ist $h^{-1}$ auch nicht ganz über $R$. Nach dem Modulkriterium Fakt für die Ganzheit gilt insbesondere für das maximale Ideal  $𝔪\subset R$  die Beziehung

$h^{-1}𝔪\subseteq ̸𝔪.$

Nach Wahl von $g$ ist aber auch

$h^{-1}𝔪=\frac{g}{f}𝔪\subseteq \frac{{𝔪}^n}{f}\subseteq R.$

Daher ist $h^{-1}𝔪$ ein Ideal in $R$, das nicht im maximalen Ideal enthalten ist. Also ist  $h^{-1}𝔪=R$.  Das heißt einerseits  $h\in 𝔪$  und andererseits gilt für ein beliebiges  $x\in 𝔪$  die Beziehung  $h^{-1}x\in R$,  also  $x=h(h^{-1}x)$,  also  $x\in (h)$  und somit  $(h)=𝔪$. 

$(5)\Rightarrow (1)$. Sei  $𝔪=(\pi )$.  Dann ist $\pi$ ein Primelement und zwar bis auf Assoziiertheit das einzige. Es sei $f\in R$, $f\ne 0$ keine Einheit. Dann ist  $f\in 𝔪$  und daher  $f=\pi g_1$.  Dann ist $g_1$ eine Einheit oder  $g_1\in 𝔪$.  Im zweiten Fall ist wieder  $g_1=\pi g_2$  und  $f={\pi }^2{g}_2$. 

Wir behaupten, dass man  $f={\pi }^{k}u$  mit einem  $k\in \mathbb{N}$  und einer Einheit $u$ schreiben kann. Andernfalls könnte man  $f={\pi }^n{g}_n$  mit beliebig großem $n$ schreiben. Nach Fakt gibt es ein  $m\in \mathbb{N}$  mit  $({\pi }^m)={𝔪}^m\subseteq (f)$.  Bei  $n\ge m+1$  ergibt sich  ${\pi }^m=af=a{\pi }^{m+1}b$  und der Widerspruch  $1=ab\pi$. 

Es lässt sich also jede Nichteinheit $\ne 0$ als Produkt einer Potenz des Primelements mit einer Einheit schreiben. Insbesondere ist $R$ faktoriell. Für ein beliebiges Ideal  $𝔞=(f_1,\dots ,f_s)$  ist  $f_i={\pi }^{n_i}{u}_i$  mit Einheiten $u_i$. Dann sieht man leicht, dass  $𝔞=({\pi }^n)$  ist mit  $n=\underset{i}{min}\{n_i\}$. 

Zur bewiesenen Aussage