Diskrete Bewertungsringe/Charakterisierung/1/Fakt/Beweis

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$ folgt direkt aus der Definition.

${}(2)\Rightarrow (3)$ folgt aus Fakt.

${}(3)\Rightarrow (4)$ folgt aus Fakt.

${}(4)\Rightarrow (5)$. Es sei ${}f\in {\mathfrak {m}}$, ${}f\neq 0$. Dann ist ${}R/(f)$ ein noetherscher lokaler Ring mit nur einem Primideal (nämlich ${}{\tilde {\mathfrak {m}}}={\mathfrak {m}}R/(f)$). Daher gibt es nach Fakt ein  ${}n\in \mathbb {N}$  mit  ${}{\tilde {\mathfrak {m}}}^{n}=0$.  Zurückübersetzt nach ${}R$ heißt das, dass  ${}{\mathfrak {m}}^{n}\subseteq (f)$  gilt. Wir wählen ${}n$ minimal mit den Eigenschaften

${\mathfrak {m}}^{n}\subseteq (f)\,\,{\text{ und }}\,\,{\mathfrak {m}}^{n-1}\not \subseteq (f).$

Wähle $g\in {\mathfrak {m}}^{n-1}$ mit $g\not \in (f)$ und betrachte

${}h:={\frac {f}{g}}\in Q(R)\,$

(es ist ${}g\neq 0$). Das Inverse, also  ${}h^{-1}={\frac {g}{f}}$,  gehört nicht zu ${}R$, sonst wäre  ${}g\in (f)$.  Da ${}R$ nach Voraussetzung normal ist, ist ${}h^{-1}$ auch nicht ganz über ${}R$. Nach dem Modulkriterium Fakt für die Ganzheit gilt insbesondere für das maximale Ideal  ${}{\mathfrak {m}}\subset R$  die Beziehung

${}h^{-1}{\mathfrak {m}}\not \subseteq {\mathfrak {m}}\,$

ist. Nach Wahl von ${}g$ ist aber auch

${}h^{-1}{\mathfrak {m}}={\frac {g}{f}}{\mathfrak {m}}\subseteq {\frac {{\mathfrak {m}}^{n}}{f}}\subseteq R\,.$

Daher ist ${}h^{-1}{\mathfrak {m}}$ ein Ideal in ${}R$, das nicht im maximalen Ideal enthalten ist. Also ist  ${}h^{-1}{\mathfrak {m}}=R$.  Das heißt einerseits  ${}h\in {\mathfrak {m}}$  und andererseits gilt für ein beliebiges  ${}x\in {\mathfrak {m}}$  die Beziehung  ${}h^{-1}x\in R$,  also  ${}x=h(h^{-1}x)$,  also  ${}x\in (h)$  und somit  ${}(h)={\mathfrak {m}}$. 

${}(5)\Rightarrow (1)$. Sei  ${}{\mathfrak {m}}=(\pi )$.  Dann ist ${}\pi$ ein Primelement und zwar bis auf Assoziiertheit das einzige. Es sei ${}f\in R$, ${}f\neq 0$ keine Einheit. Dann ist  ${}f\in {\mathfrak {m}}$  und daher  ${}f=\pi g_{1}$.  Dann ist ${}g_{1}$ eine Einheit oder  ${}g_{1}\in {\mathfrak {m}}$.  Im zweiten Fall ist wieder  ${}g_{1}=\pi g_{2}$  und  ${}f=\pi ^{2}g_{2}$. 

Wir behaupten, dass man  ${}f=\pi ^{k}u$  mit einem  ${}k\in \mathbb {N}$  und einer Einheit ${}u$ schreiben kann. Andernfalls könnte man  ${}f=\pi ^{n}g_{n}$  mit beliebig großem ${}n$ schreiben. Nach Fakt gibt es ein  ${}m\in \mathbb {N}$  mit  ${}(\pi ^{m})={\mathfrak {m}}^{m}\subseteq (f)$.  Bei  ${}n\geq m+1$  ergibt sich  ${}\pi ^{m}=af=a\pi ^{m+1}b$  und der Widerspruch  ${}1=ab\pi$. 

Es lässt sich also jede Nichteinheit ${}\neq 0$ als Produkt einer Potenz des Primelements mit einer Einheit schreiben. Insbesondere ist ${}R$ faktoriell. Für ein beliebiges Ideal  ${}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{s})$  ist  ${}f_{i}=\pi ^{n_{i}}u_{i}$  mit Einheiten ${}u_{i}$. Dann sieht man leicht, dass  ${}{\mathfrak {a}}=(\pi ^{n})$  ist mit  ${}n=\min _{i}\{n_{i}\}$. 

Zur bewiesenen Aussage