Diskrete Bewertungsringe/Charakterisierung/1/Fakt/Beweis

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Beweis

folgt direkt aus der Definition.

folgt aus Fakt.

folgt aus Fakt.

. Sei , . Dann ist ein noetherscher lokaler Ring mit nur einem Primideal (nämlich ). Daher gibt es nach Fakt ein mit . Zurückübersetzt nach heißt das, dass gilt. Wir wählen minimal mit den Eigenschaften

Wähle mit und betrachte

(es ist ). Das Inverse, also , gehört nicht zu , sonst wäre . Da nach Voraussetzung normal ist, ist auch nicht ganz über . Nach dem Modulkriterium Fakt für die Ganzheit gilt insbesondere für das maximale Ideal die Beziehung

ist. Nach Wahl von ist aber auch

Daher ist ein Ideal in , das nicht im maximalen Ideal enthalten ist. Also ist . Das heißt einerseits und andererseits gilt für ein beliebiges die Beziehung , also , also und somit .

. Sei . Dann ist ein Primelement und zwar bis auf Assoziiertheit das einzige. Sei , keine Einheit. Dann ist und daher . Dann ist eine Einheit oder . Im zweiten Fall ist wieder und .

Wir behaupten, dass man mit einer Einheit schreiben kann. Andernfalls könnte man mit beliebig großem schreiben. Nach Fakt gibt es ein mit . Bei ergibt sich und der Widerspruch .

Es lässt sich also jede Nichteinheit als Produkt einer Potenz des Primelements mit einer Einheit schreiben. Insbesondere ist faktoriell. Für ein beliebiges Ideal ist mit Einheiten . Dann sieht man leicht, dass ist mit .

Zur bewiesenen Aussage