folgt direkt aus der
Definition.
folgt aus
Fakt.
folgt aus
Fakt.
. Es sei
,
. Dann ist
ein noetherscher lokaler Ring mit nur einem Primideal
(nämlich
).
Daher gibt es nach
Fakt
ein
mit
.
Zurückübersetzt nach
heißt das, dass
gilt. Wir wählen
minimal mit den Eigenschaften
-
Wähle
mit
und betrachte
-
![{\displaystyle {}h:={\frac {f}{g}}\in Q(R)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b5fe8801d850a2998092282645e7aebb0454f62)
(es ist
).
Das Inverse, also
,
gehört nicht zu
, sonst wäre
.
Da
nach Voraussetzung normal ist, ist
auch nicht
ganz
über
. Nach dem Modulkriterium
Fakt
für die Ganzheit gilt insbesondere für das maximale Ideal
die Beziehung
-
![{\displaystyle {}h^{-1}{\mathfrak {m}}\not \subseteq {\mathfrak {m}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52a8b859ba79e03618ee06f8a3a22c52c929f6ec)
ist. Nach Wahl von
ist aber auch
-
![{\displaystyle {}h^{-1}{\mathfrak {m}}={\frac {g}{f}}{\mathfrak {m}}\subseteq {\frac {{\mathfrak {m}}^{n}}{f}}\subseteq R\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99b4f7e7a1cafea88cf6c06b90b0b09bee030d34)
Daher ist
ein Ideal in
, das nicht im maximalen Ideal enthalten ist. Also ist
. Das heißt einerseits
und andererseits gilt für ein beliebiges
die Beziehung
,
also
,
also
und somit
.
. Sei
.
Dann ist
ein Primelement und zwar bis auf Assoziiertheit das einzige. Es sei
,
keine Einheit. Dann ist
und daher
.
Dann ist
eine Einheit oder
.
Im zweiten Fall ist wieder
und
.
Wir behaupten, dass man
mit einem
und einer Einheit
schreiben kann. Andernfalls könnte man
mit beliebig großem
schreiben. Nach
Fakt
gibt es ein
mit
.
Bei
ergibt sich
und der Widerspruch
.
Es lässt sich also jede Nichteinheit
als Produkt einer Potenz des Primelements mit einer Einheit schreiben. Insbesondere ist
faktoriell. Für ein beliebiges Ideal
ist
mit Einheiten
. Dann sieht man leicht, dass
ist mit
.