Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe/Lösung

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $𝔞 \subseteq R$ ein Ideal und $R / 𝔞$ die Quotientenmenge zur durch $𝔞$ definierten Äquivalenzrelation auf $R$ mit der kanonischen Projektion
$q : R ⟶ R / 𝔞, g ⟼ [g] .$

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Ringstruktur auf $R / 𝔞$ derart, dass $q$ ein Ringhomomorphismus
ist.
Es sei $M$ eine $d \times d$ -Matrix über dem Körper $K$ . Es sei $w_{1}, \dots, w_{d}$ eine Basis aus Eigenvektoren von $M$ mit den Eigenwerten $λ_{1}, \dots, λ_{d}$ . Es sei
$v_{0} = \sum_{i = 1}^{d} s_{i} w_{i}$

ein Startvektor, der als Linearkombination in dieser Basis vorliegt.
Dann ist

$v_{n} = \sum_{i = 1}^{d} λ_{i}^{n} s_{i} w_{i}$

eine Lösung der Matrixrekursion

$v_{n + 1} = M v_{n}$
mit dem Startvektor $v_{0}$ .
Für jeden ebenen Graphen besteht eine zulässige Färbung mit höchstens vier Farben.