Diskrete Mathematik (Bochum 2004)/Klausur2

Vorlesung zur Diskreten Mathematik für Ingenieure (Bochum 2004)

Klausur 2

Dauer: Vier volle Stunden. Zum Bestehen braucht man die Hälfte der Punktzahl. Erlaubt sind alle schriftlichen Hilfsmittel, aber keine elektronischen Hilfsmittel.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${}12733$ und ${}3983$. Man gebe eine Darstellung des ${}\operatorname {ggT}$ von ${}12733$ und ${}3983$ an.

Aufgabe (4 Punkte)

Führe in ${}\mathbb {Z} /(7)[X]$ folgende Polynomdivision aus.

$X^{4}+5X^{2}+3\,{\text{ durch }}\,2X^{2}+X+6.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Anzahl der primitiven Elemente in folgenden Körpern:

a) ${}\mathbb {Z} /(73)$,

b) ${}{\mathbb {F} }_{125}$,

c) ${}{\mathbb {F} }_{64}$,

d) ${}\mathbb {Z} /(113)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechnen Sie das folgende Jacobi-Symbol mittels des Quadratischen Reziprozitätsgesetzes, ohne dabei die Primfaktorzerlegung zu verwenden:

$\left({\frac {1613}{2517}}\right).$

Aufgabe * (4 Punkte)

a) Zeige, dass durch

${}K=\mathbb {Z} /(7)[T]/(T^{3}-2)\,$

ein Körper mit ${}343$ Elementen gegeben ist.

b) Berechne in ${}K$ das Produkt ${}(T^{2}+2T+4)(2T^{2}+5)$.

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu ${}T+1$.

Aufgabe (4 Punkte)

Suchen Sie für die folgenden zusammengesetzten Zahlen ${}n$ eine zu ${}n$ teilerfremde Zahl ${}a$ derart, dass ${}a^{\frac {n-1}{2}}\neq \left({\frac {a}{n}}\right)$ in ${}\mathbb {Z} /(n)$ gilt.

a) ${}n=125$.

b) ${}n=63$.

Aufgabe (4 Punkte)

a) Bestimme die primitiven Elemente von ${}\mathbb {Z} /(11)$.

b) Man gebe einen Gruppenisomorphismus der additiven Gruppe ${}(\mathbb {Z} /(10),+)$ in die Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(11)\right)}^{\times }$ an.

c) Bestimme für jede Einheit aus ${}\mathbb {Z} /(11)$ die Ordnung.

Aufgabe * (4 Punkte)

a) Man gebe explizit eine natürliche Zahl ${}n\geq 100000$ an, die keinen Primteiler ${}\leq 20$ besitzt.

b) Es sei ${}K=\mathbb {Z} /(3)$. Man gebe explizit ein normiertes Polynom ${}F\in K[X]$ vom Grad ${}\geq 9$ an, das keinen Primteiler vom Grad ${}\leq 2$ besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachten Sie die elliptische Kurve, die durch die affine Gleichung

$Y^{2}=X^{3}-X=X(X+1)(X-1)$

gegeben ist, über dem Körper ${}K=\mathbb {Z} /(7)$.

a) Wie viele Punkte über ${}K$ besitzt die elliptische Kurve?

b) Zeigen Sie: ${}P=(1,0)$ und ${}Q=(5,6)$ sind Punkte der Kurve.

c) Berechnen Sie $P+Q$.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachten Sie die algebraische Kurve über ${}K=\mathbb {Z} /(5)$, die durch die Gleichung

$Y^{2}=X^{3}+2X+2$

in affiner Standard-Darstellung gegeben ist.

a) Bestimmen Sie, ob die Kurve eine elliptische Kurve ist oder nicht. Bestimmen Sie gegebenenfalls alle singulären Punkte dieser affinen Kurve.

b) Homogenisieren Sie die Gleichung und betrachten Sie auch unendlich ferne Punkte. Wie viele gibt es davon, und wie lauten die homogenen Koordinaten davon? Sind diese glatt oder singulär?