Division mit Rest/Z/Ohne Beweis/Untergruppen/Textabschnitt

Zu einer ganzen Zahl ${}d$ ist die Menge

${}\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

aller Vielfachen von ${}d$ eine Untergruppe von ${}\mathbb {Z}$. Wir wollen zeigen, dass jede Untergruppe der ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ diese Gestalt besitzt, also von einem Element erzeugt wird.

Satz

Es sei ${}d$ eine fixierte positive natürliche Zahl.

Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl ${}n$ eine eindeutig bestimmte ganze Zahl ${}q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl ${}r$, ${}0\leq r\leq d-1$, mit

${}n=qd+r\,.$

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Zur Existenz. Bei ${}n=0$ ist ${}q=r=0$ eine Lösung. Es sei ${}n$ positiv. Da ${}d$ positiv ist, gibt es ein Vielfaches ${}ad\geq n$. Daher gibt es auch eine Zahl ${}q$ mit $qd\leq n$ und $(q+1)d>n$. Es sei ${}r:=n-qd$. Dann ist

${}qd\leq qd+r<qd+d\,$

und daher ist ${}0\leq r<d$ wie gewünscht. Bei ${}n$ negativ kann man schreiben ${}-n={\tilde {q}}d+{\tilde {r}}$ nach dem Resultat für positive Zahlen. Daraus ergibt sich

$n=(-{\tilde {q}})d-{\tilde {r}}={\begin{cases}(-{\tilde {q}})d+0{\text{ bei }}{\tilde {r}}=0\\(-{\tilde {q}}-1)d+d-{\tilde {r}}{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$

Im zweiten Fall erfüllen ${}q=-{\tilde {q}}-1$ und ${}r=d-{\tilde {r}}$ die Bedingungen.
Zur Eindeutigkeit. Es sei ${}qd+r=n={\tilde {q}}d+{\tilde {r}}$, wobei die Bedingungen jeweils erfüllt seien. Es sei ohne Einschränkung ${}{\tilde {r}}\geq r$. Dann gilt ${}(q-{\tilde {q}})d={\tilde {r}}-r$. Diese Differenz ist nichtnegativ und kleiner als ${}d$, links steht aber ein Vielfaches von ${}d$, sodass die Differenz ${}0$ sein muss und die beiden Darstellungen überein stimmen.

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In der Notation des vorstehenden Satzes soll ${}q$ an Quotient und ${}r$ an Rest erinnern. Die Division mit Rest kann man auch so verstehen, dass man jede rationale Zahl ${}n/d$ als

${}{\frac {n}{d}}=\lfloor {\frac {n}{d}}\rfloor +{\frac {r}{d}}\,$

schreiben kann, wobei ${}\lfloor s\rfloor$ die größte ganze Zahl ${}\leq s$ bedeutet und der rationale Rest ${}r/d$ die Bedingungen ${}0\leq r/d<1$ erfüllt. In dieser Form kann man auch eine Division mit Rest für jede reelle Zahl aus den Axiomen der reellen Zahlen beweisen.

Satz

Die Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$ sind genau

die Teilmengen der Form

${}\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen Zahl ${}d$.

Beweis

Eine Teilmenge der Form ${}\mathbb {Z} d$ ist aufgrund des Distributivgesetzes eine Untergruppe. Es sei umgekehrt ${}H\subseteq \mathbb {Z}$ eine Untergruppe. Bei ${}H=0$ kann man ${}d=0$ nehmen, sodass wir voraussetzen dürfen, dass ${}H$ neben ${}0$ noch mindestens ein weiteres Element ${}x$ enthält. Wenn ${}x$ negativ ist, so muss die Untergruppe ${}H$ auch das Negative davon, also ${}-x$ enthalten, welches positiv ist. D.h. ${}H$ enthält auch positive Zahlen. Es sei nun ${}d$ die kleinste positive Zahl aus ${}H$. Wir behaupten ${}H=\mathbb {Z} d$. Dabei ist die Inklusion ${}\mathbb {Z} d\subseteq H$ klar, da mit ${}d$ alle (positiven und negativen) Vielfachen von ${}d$ dazugehören müssen. Für die umgekehrte Inklusion sei ${}h\in H$ beliebig. Nach der Division mit Rest gilt

$h=qd+r{\text{ mit }}0\leq r<d.$

Wegen $h\in H$ und $qd\in H$ ist auch ${}r=h-qd\in H$. Nach der Wahl von ${}d$ muss wegen ${}r<d$ gelten: ${}r=0$. Dies bedeutet ${}h=qd$ und damit ${}h\in \mathbb {Z} d$, also ${}H\subseteq \mathbb {Z} d$.

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