Dreiecksgeometrie/Feuerbachkreis/Einführung/Textabschnitt

Die neun Punkte des Neun-Punkte-Kreises: Die Seitenmittelpunkte (blau), die Höhenfußpunkte (rot) und die Mittelpunkte (grün) zwischen Eckpunkten und Höhenschnittpunkt (schwarz).

Lemma

Durch die Eckpunkte ${}A,B,C$ sei ein nichtausgeartetes Dreieck ${}\triangle$ in der euklidischen Ebene gegeben. Es sei ${}F$ der Umkreis zu den Seitenmittelpunkten des Dreiecks. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Der Radius von ${}F$ ist die Hälfte des Umkreisradius von ${}\triangle$.
2. Die Verbindungsstrecken des Höhenschnittpunkts und der Eckpunkte werden durch ${}F$ halbiert.
3. Die Höhenfußpunkte von ${}\triangle$ liegen auf ${}F$.

Beweis

(1). Es sei ${}U$ der Umkreismittelpunkt des Ausgangsdreiecks, den wir als Ursprung eines kartesischen Koordinantensystems ansetzen. Wir betrachten dann den Punkt

${}U'={\frac {1}{2}}{\left(A+B+C\right)}\,.$

Der Mittelpunkt ${}A'={\frac {1}{2}}{\left(B+C\right)}$ der Dreiecksseite durch ${}B$ und ${}C$ besitzt zu ${}U'$ den Abstand

${}\Vert {{\frac {1}{2}}{\left(B+C\right)}-U'}\Vert =\Vert {{\frac {1}{2}}{\left(B+C\right)}-{\frac {1}{2}}{\left(A+B+C\right)}}\Vert ={\frac {1}{2}}\Vert {A}\Vert \,.$

Da die Normen von allen Eckpunkten ${}A,B,C$ nach Wahl von ${}U$ gleich sind, ist ${}U'$ der Umkreismittelpunkt des Seitenmittelpunktsdreiecks und der Radius ist die Hälfte des Umkreisradius.

(2). Nach Fakt ist ${}A+B+C$ der Höhenschnittpunkt. Daher ist der Mittelpunkt der Strecke von ${}A$ zum Höhenschnittpunkt gleich

${}{\frac {1}{2}}(A+B+C)+{\frac {1}{2}}A=A+{\frac {1}{2}}(B+C)\,.$

Der Abstand davon zu ${}U'$ ist

${}\Vert {{\frac {1}{2}}(A+B+C)-{\left(A+{\frac {1}{2}}(B+C)\right)}}\Vert =\Vert {-{\frac {1}{2}}A}\Vert ={\frac {1}{2}}\Vert {A}\Vert \,.$

(3). Zunächst liegen die unter (1) bzw. (2) konstruierten Punkte auf dem Kreis ${}F$ gegenüber. Es ist ja

${}{\frac {1}{2}}{\left({\frac {1}{2}}(B+C)\right)}+{\frac {1}{2}}{\left(A+{\frac {1}{2}}(B+C)\right)}={\frac {1}{2}}{\left(A+B+C\right)}\,$

der Mittelpunkt von ${}F$. Somit bilden ein Seitenmittelpunkt, der gegenüberliegende Halbierungspunkt zwischen Eckpunkt und Höhenschnittpunkt und der entsprechende Höhenfußpunkt ein rechtwinkliges Dreieck. Dessen Thaleskreis ist stets der Feuerbachkreis.

$\Box$

Den Kreis in der vorstehenden Aussage nennt man den Feuerbachkreis oder auch den Neun-Punkte-Kreis.