Dreiecksgeometrie/Feuerbachkreis/Einführung/Textabschnitt

Die neun Punkte des Neun-Punkte-Kreises: Die Seitenmittelpunkte (blau), die Höhenfußpunkte (rot) und die Mittelpunkte (grün) zwischen Eckpunkten und Höhenschnittpunkt (schwarz).

Lemma

Durch die Eckpunkte $A,B,C$ sei ein nichtausgeartetes Dreieck $\mathrm{△}$ in der euklidischen Ebene gegeben. Es sei $F$ der Umkreis zu den Seitenmittelpunkten des Dreiecks. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Der Radius von $F$ ist die Hälfte des Umkreisradius von $\mathrm{△}$.
2. Die Verbindungsstrecken des Höhenschnittpunkts und der Eckpunkte werden durch $F$ halbiert.
3. Die Höhenfußpunkte von $\mathrm{△}$ liegen auf $F$.

Beweis

1. Es sei $U$ der Umkreismittelpunkt des Ausgangsdreiecks, den wir als Ursprung eines kartesischen Koordinantensystems ansetzen. Wir betrachten dann den Punkt

   $U^{\prime }=\frac{1}{2}(A+B+C).$

   Der Mittelpunkt  $A^{\prime }=\frac{1}{2}(B+C)$  der Dreiecksseite durch $B$ und $C$ besitzt zu $U^{\prime }$ den Abstand

   $\Vert \frac{1}{2}(B+C)-U^{\prime }\Vert =\Vert \frac{1}{2}(B+C)-\frac{1}{2}(A+B+C)\Vert =\frac{1}{2}\Vert A\Vert .$

   Da die Normen von allen Eckpunkten $A,B,C$ nach Wahl von $U$ gleich sind, ist $U^{\prime }$ der Umkreismittelpunkt des Seitenmittelpunktsdreiecks und der Radius ist die Hälfte des Umkreisradius.

2. Nach Fakt ist $A+B+C$ der Höhenschnittpunkt. Daher ist der Mittelpunkt der Strecke von $A$ zum Höhenschnittpunkt gleich

   $\frac{1}{2}(A+B+C)+\frac{1}{2}A=A+\frac{1}{2}(B+C).$

   Der Abstand davon zu $U^{\prime }$ ist

   $\Vert \frac{1}{2}(A+B+C)-(A+\frac{1}{2}(B+C))\Vert =\Vert -\frac{1}{2}A\Vert =\frac{1}{2}\Vert A\Vert .$

3. Zunächst liegen die unter (1) bzw. (2) konstruierten Punkte auf dem Kreis $F$ gegenüber. Es ist ja

   $\frac{1}{2}(\frac{1}{2}(B+C))+\frac{1}{2}(A+\frac{1}{2}(B+C))=\frac{1}{2}(A+B+C)$

   der Mittelpunkt von $F$. Somit bilden ein Seitenmittelpunkt, der gegenüberliegende Halbierungspunkt zwischen Eckpunkt und Höhenschnittpunkt und der entsprechende Höhenfußpunkt ein rechtwinkliges Dreieck. Dessen Thaleskreis ist stets der Kreis $F$.

$◻$

Den Kreis in der vorstehenden Aussage nennt man den Feuerbachkreis oder auch den Neun-Punkte-Kreis.