Dreiecksgeometrie/Seitenhalbierende/Schwerpunkt/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einer Menge von $n$ Punkten $P_1,\dots ,P_n$ in einem affinen Raum $E$ über einem reellen Vektorraum $V$ nennt man die baryzentrische Kombination

$\frac{1}{n}{P}_1+\frac{1}{n}{P}_2+\cdots +\frac{1}{n}{P}_n$

den Schwerpunkt der Punkte.

Es handelt sich also um diejenige baryzentrische Kombination der Punkte, bei der jeder Punkt mit der gleichen Gewichtung eingeht. Zu Punkten  $P,Q\in E$  heißt der Schwerpunkt $\frac{1}{2}P+\frac{1}{2}Q$ auch der Mittelpunkt der beiden Punkte (oder der Strecke $\overline{P,Q}$). Bei zwei reellen Zahlen spricht man auch vom arithmetischen Mittel der beiden Zahlen. Bei  $n=1,2,3$  ist der Schwerpunkt der Punkte auch der Schwerpunkt ihrer konvexen Hülle. Der Schwerpunkt von drei Punkten tritt als Durchschnitt der Seitenhalbierenden des Dreiecks auf.

Definition

Zu einem nichtausgearteten Dreieck $A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt die Gerade

$\frac{B+C}{2}+s(A-\frac{B+C}{2}),s\in ℝ,$

die Seitenhalbierende durch $A$.

Die Seitenhalbierende durch $A$ verläuft also durch den Punkt $A$ und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Dreiecksseite.

Satz

In einem nichtausgearteten Dreieck in der euklidischen Ebene

treffen sich die drei Seitenhalbierenden im Schwerpunkt $\frac{A+B+C}{3}$ des Dreiecks.

Beweis

Es ist

$\frac{B+C}{2}+\frac{1}{3}(A-\frac{B+C}{2})=\frac{1}{3}A+(\frac{1}{2}-\frac{1}{6})B+(\frac{1}{2}-\frac{1}{6})C=\frac{1}{3}A+\frac{1}{3}B+\frac{1}{3}C$

ein Punkt der Seitenhalbierenden durch $A$. Wegen der Symmetrie der Situation gehört der Punkt auch zu den beiden anderen Seitenhalbierenden.

$◻$

Insbesondere schneidet der Schwerpunkt jede Seitenhalbierende im Verhältnis $2:1$, wobei der längere Teil am Punkt anliegt.