Dreiecksgeometrie/Seitenhalbierende/Schwerpunkt/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einer Menge von ${}n$ Punkten ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ in einem affinen Raum ${}E$ über einem reellen Vektorraum ${}V$ nennt man die baryzentrische Kombination

${\frac {1}{n}}P_{1}+{\frac {1}{n}}P_{2}+\cdots +{\frac {1}{n}}P_{n}$

den Schwerpunkt der Punkte.

Es handelt sich also um diejenige baryzentrische Kombination der Punkte, bei der jeder Punkt mit der gleichen Gewichtung eingeht. Zu Punkten ${}P,Q\in E$ heißt der Schwerpunkt ${}{\frac {1}{2}}P+{\frac {1}{2}}Q$ auch der Mittelpunkt der beiden Punkte (oder der Strecke ${\overline {P,Q}}$). Bei zwei reellen Zahlen spricht man auch vom arithmetischen Mittel der beiden Zahlen. Bei ${}n=1,2,3$ ist der Schwerpunkt der Punkte auch der Schwerpunkt ihrer konvexen Hülle. Der Schwerpunkt von drei Punkten tritt als Durchschnitt der Seitenhalbierenden des Dreiecks auf.

Definition

Zu einem nichtausgearteten Dreieck ${}A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt die Gerade

${\frac {B+C}{2}}+s{\left(A-{\frac {B+C}{2}}\right)},\,s\in \mathbb {R} ,$

die Seitenhalbierende durch ${}A$

Die Seitenhalbierende durch ${}A$ verläuft also durch den Punkt ${}A$ und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Dreiecksseite.

Satz

In einem nichtausgearteten Dreieck in der euklidischen Ebene

treffen sich die drei Seitenhalbierenden im Schwerpunkt ${}{\frac {A+B+C}{3}}$ des Dreiecks.

Beweis

Wir betrachten die Bedingung

${}{\frac {B+C}{2}}+s{\left(A-{\frac {B+C}{2}}\right)}={\frac {A+C}{2}}+t{\left(B-{\frac {A+C}{2}}\right)}\,,$

die auf

${}{\begin{aligned}{\frac {B-A}{2}}&=t{\left(B-{\frac {A+C}{2}}\right)}-s{\left(A-{\frac {B+C}{2}}\right)}\\&={\left(-s-{\frac {t}{2}}\right)}A+{\left(t+{\frac {s}{2}}\right)}B+{\frac {s-t}{2}}C\end{aligned}}$

führt. Wir können ${}E=\mathbb {R} ^{2}$ und ${}A=0$ setzen, woraus sich, da ${}B$ und ${}C$ linear unabhängig sind,

${}s=t\,$

ergibt. Daher ist

${}{\frac {B-A}{2}}={\left(-{\frac {3}{2}}s\right)}A+{\left({\frac {3}{2}}s\right)}B\,,$

woraus

${}s={\frac {1}{3}}\,$

folgt. Somit ist der Schnittpunkt gleich

${}{\frac {B+C}{2}}+{\frac {1}{3}}{\left(A-{\frac {B+C}{2}}\right)}={\frac {1}{3}}A+{\frac {1}{3}}B+{\frac {1}{3}}C\,.$

Wegen der Symmetrie ist dies auch der Schnittpunkt mit der dritten Seitenhalbierenden.

$\Box$

Insbesondere schneidet der Schwerpunkt jede Seitenhalbierende im Verhältnis ${}2:1$, wobei der längere Teil am Punkt anliegt.