Ebene Drehung/Orientierte Orthonormalbasis/Matrix/Aufgabe

Es sei

${}D(\alpha )={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\,$

die Beschreibung einer Drehung ${}\varphi$ bezüglich der Standardbasis ${}e_{1},e_{2}$ des ${}\mathbb {R} ^{2}$. Es sei ${}u_{1},u_{2}$ eine Orthonormalbasis des ${}\mathbb {R} ^{2}$ derart, dass die Übergangsmatrix zwischen den beiden Basen die Determinante ${}1$ besitzt. Zeige, dass ${}\varphi$ bezüglich der zweiten Basis ebenfalls durch ${}D(\alpha )$ beschrieben wird. Zeige, dass dies ohne die Determinantenbedingung nicht gilt.

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