Ebene Kurven/Schnitt ohne Komponenten/Endlich viele Punkte/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Wir betrachten als Elemente in , wobei den Körper der rationalen Funktionen in bezeichne. Es haben dann nach Aufgabe auch und keinen gemeinsamen Teiler in . Da dieser Ring ein

Hauptidealbereich ist, erzeugen sie zusammen das Einheitsideal, d.h. es gibt Polynome mit . Multiplikation mit dem Hauptnenner von und ergibt in die Gleichung mit . Eine gemeinsame Nullstelle in von und von muss also eine Nullstelle von sein. Es gibt also nur endlich viele Werte für , für die eine gemeinsame Nullstelle vorliegt. Wenn man die Rollen von und von vertauscht, so sieht man, dass es auch nur endlich viele Werte für gibt, an denen eine gemeinsame Nullstelle vorliegen kann. Damit kann es überhaupt nur endlich viele gemeinsame Nullstellen geben.
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