Ebene algebraische Kurve/Glatter Punkt/Lokaler Ring ist diskreter Bewertungsring/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst ist $R$ ein noetherscher lokaler Ring, der aufgrund von Fakt ein Integritätsbereich ist. Daher sind die einzigen Primideale das Nullideal und das maximale Ideal $𝔪_{P}$ . Wir werden zeigen, dass das maximale Ideal ein Hauptideal ist.

Wir können annehmen, dass $P$ der Nullpunkt ist, und schreiben $F$ als

F = F_{d} + \dots + F_{1}

mit $F_{1} \neq 0$ . Da $P$ glatt ist, liegt eine solche Gestalt vor. Durch eine Variablentransformation können wir erreichen, dass $F_{1} = Y$ ist. Wir können in $F$ die isoliert stehenden Potenzen von $X$ (die Monome, wo kein $Y$ vorkommt) zusammenfassen und bei den anderen $Y$ ausklammern. Dann lässt sich die Gleichung $F = 0$ als

Y (1 + G) = X H (X)

schreiben, wobei $G \in (X, Y)$ ist. Es ist $1 + G$ eine Einheit in $K [X, Y]_{(X, Y)}$ und erst recht im lokalen Ring $R = K [X, Y]_{(X, Y)} / (F)$ der Kurve im Nullpunkt. Daher gilt in $R$ die Beziehung

Y = \frac{H}{1 + G} X .

Also wird das maximale Ideal im lokalen Ring $R$ von $X$ allein erzeugt, sodass nach Fakt ein diskreter Bewertungsring vorliegt.

Zur bewiesenen Aussage