Ebene algebraische Kurve/Glatter Punkt/Lokaler Ring ist diskreter Bewertungsring/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst ist ${}R$ ein noetherscher lokaler Ring, der aufgrund von Fakt ein Integritätsbereich ist. Daher sind die einzigen Primideale das Nullideal und das maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}_{P}$. Wir werden zeigen, dass das maximale Ideal ein Hauptideal ist.

Wir können annehmen, dass ${}P$ der Nullpunkt ist, und schreiben ${}F$ als

${}F=F_{d}+\cdots +F_{1}\,$

mit ${}F_{1}\neq 0$. Da ${}P$ glatt ist, liegt eine solche Gestalt vor. Durch eine Variablentransformation können wir erreichen, dass ${}F_{1}=Y$ ist. Wir können in ${}F$ die isoliert stehenden Potenzen von ${}X$ (die Monome, wo kein ${}Y$ vorkommt) zusammenfassen und bei den anderen ${}Y$ ausklammern. Dann lässt sich die Gleichung ${}F=0$ als

${}Y(1+G)=XH(X)\,$

schreiben, wobei ${}G\in (X,Y)$ ist. Es ist ${}1+G$ eine Einheit in ${}K[X,Y]_{(X,Y)}$ und erst recht im lokalen Ring ${}R=K[X,Y]_{(X,Y)}/(F)$ der Kurve im Nullpunkt. Daher gilt in ${}R$ die Beziehung

${}Y={\frac {H}{1+G}}X\,.$

Also wird das maximale Ideal im lokalen Ring ${}R$ von ${}X$ allein erzeugt, so dass nach Fakt ein diskreter Bewertungring vorliegt.

Zur bewiesenen Aussage