Ebene algebraische Kurven/R/Implizite Abbildung/Bemerkung

Ein reelles Polynom ${}F\in \mathbb {R} [X,Y]$ in zwei Variablen kann man als eine differenzierbare Funktion ${}F\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$, die algebraische Kurve ${}v=V(F)\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ist die Faser von ${}F$ über dem Nullpunkt ${}0\in \mathbb {R}$. In dieser Situation ist der Satz über implizite Abbildungen anwendbar. Er besagt für einen Punkt ${}P=(a,b)\in V=\mathbb {R} ^{2}$, dass unter der Voraussetzung, dass zumindest eine partielle Ableitung ${}{\frac {\partial F}{\partial x}}$ oder ${}{\frac {\partial F}{\partial y}}$ in ${}P$ nicht ${}0$ ist, es eine offene Ballumgebung ${}P\in U{\left(P,\epsilon \right)}$, ein reelles Intervall ${}]-\delta ,\delta [$ und eine stetig differenzierbare Abbildung

$]-\delta ,\delta [\longrightarrow U{\left(P,\epsilon \right)}$

derart gibt, dass eine Bijektion des Intervalls mit dem Faserausschnitt ${}V\cap U{\left(P,\epsilon \right)}$ vorliegt. Das bedeutet, dass die Faser ${}V$ lokal in einem solchen Punkt wie ein differenzierbar gekrümmtes Intervall aussieht, also eine eindimensionale reelle Mannigfaltigkeit in diesen Punktes ist. Wenn beide partiellen Ableitungen in ${}P$ gleich ${}0$ sind, so kann man diesen Satz nicht anwenden. Für das Studium der algebraischen Kurven ist es wichtig, dass man die Voraussetzung des Satzes, dass zumindest eine partielle Ableitung nicht verschwindet, über einem beliebigen Körper formulieren kann, obwohl es für die Schlussfolgerung des Satzes keine unmittelbare Entsprechung gibt.