Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Charakterisierung Transversaler Schnitt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}R=K[X,Y]_{\mathfrak {m}}$ der lokale Ring zum (Null-)Punkt ${}P$ in der Ebene. Es sei zunächst der Schnitt als transversal vorausgesetzt. Dann sind insbesondere beide Kurven in ${}P$ glatt, und ${}B=R(F)$ ist nach Fakt ein diskreter Bewertungsring. Da die Tangenten verschieden sind, können wir annehmen, dass die Tangente an $V(F)$ durch $V(Y)$ und die Tangente an $V(G)$ durch $V(X)$ gegeben ist. Nach dem Beweis zu Fakt ist dann ${}X$ eine Ortsuniformisierende von ${}B$. Da ${}G$ die Form $G=X+H$ mit $H\in {\mathfrak {m}}^{2}$ hat, ist ${}G$ ebenfalls eine Ortsuniformisierende in ${}B$ und daher ist ${}B/(G)=K$. Daher ist die Schnittmultiplizität eins.

Für die Rückrichtung folgt aus Fakt, dass die Multiplizität der beiden Kurven in ${}P$ eins sein muss und daher beide Kurven in ${}P$ glatt sind. Nehmen wir an, dass die Tangenten übereinstimmen. Dann können wir annehmen, dass sowohl $F$ als auch $G$ die Form ${}Y+$ Terme von größerem Grad besitzen. Man kann die Idealerzeuger ${}(F,G)$ durch ${}(F,F-G)$ ersetzen, und dabei ist ${}F-G\in {\mathfrak {m}}^{2}$. Dann erzeugt aber ${}F-G$ in ${}B=R/(F)$ nicht das maximale Ideal, und die Schnittmultiplizität kann nicht eins sein.

Zur bewiesenen Aussage