Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Charakterisierung Transversaler Schnitt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  $R=K[X,Y{]}_{𝔪}$  der lokale Ring zum (Null-)Punkt $P$ in der Ebene. Es sei zunächst der Schnitt als transversal vorausgesetzt. Dann sind insbesondere beide Kurven in $P$ glatt, und  $B=R/(F)$  ist nach Fakt ein diskreter Bewertungsring. Da die Tangenten verschieden sind, können wir annehmen, dass die Tangente an $V(F)$ durch $V(Y)$ und die Tangente an $V(G)$ durch $V(X)$ gegeben ist. Nach dem Beweis zu Fakt ist dann $X$ eine Ortsuniformisierende von $B$. Da $G$ die Form $G=X+H$ mit $H\in {𝔪}^2$ hat, ist $G$ ebenfalls eine Ortsuniformisierende in $B$ und daher ist  $B/(G)=K$.  Daher ist die Schnittmultiplizität eins.

Für die Rückrichtung folgt aus Fakt, dass die Multiplizität der beiden Kurven in $P$ eins sein muss und daher beide Kurven in $P$ glatt sind. Nehmen wir an, dass die Tangenten übereinstimmen. Dann können wir annehmen, dass sowohl $F$ als auch $G$ die Form $Y+$ Terme von größerem Grad besitzen. Man kann die Idealerzeuger $(F,G)$ durch $(F,F-G)$ ersetzen, und dabei ist  $F-G\in {𝔪}^2$.  Dann erzeugt aber $F-G$ in  $B=R/(F)$  nicht das maximale Ideal, und die Schnittmultiplizität kann nicht eins sein.

Zur bewiesenen Aussage