Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Summenformel für Schnittmultiplizität/Fakt/Beweis

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Beweis

Diese Aussage folgt durch Induktion aus dem Spezialfall (und ). Sei . Wegen hat man eine surjektive Abbildung . Andererseits induziert die Multiplikation mit einen -Modulhomomorphismus . Wir behaupten, dass eine kurze exakte Sequenz

vorliegt. Dabei ist die Surjektivität klar und ebenso, dass die hintereinander geschalteten Abbildungen die Nullabbildung sind. Sei ein Element, das rechts auf abgebildet wird. Dann kann man in schreiben: . Dann repräsentiert ebenfalls diese Klasse in , und dieses kommt von links. Sei nun ein Element, das durch Multiplikation mit auf abgebildet wird, also . Wir schreiben dies als

Da und keinen gemeinsamen Primteiler besitzen, gilt dies erst recht für und . Also muss ein Teiler von sein und es ergibt sich eine Beziehung , woraus folgt, dass bereits ist.

Aus der Additivitätseigenschaft von kurzen exakten Sequenzen folgt die gewünschte Identität