Ebene projektive Kurve/F2/Ausschöpfung/Aufgabe/Lösung

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  1. Die partielle Ableitung nach ist , daher ist die Kurve glatt.
  2. Dies folgt aus dem ersten Teil und Fakt.
  3. Sei . Bei

    verbleibt , was bei

    wieder ergibt. Bei

    ergibt sich ebenfalls .

  4. Wegen Teil 3 ist nur noch zu zeigen, dass alle -Punkte von zur Kurve gehören. Mit

    ergibt sich aus der homogenen Gleichung die Bedingung

    die für alle Kombinationen aus erfüllt ist.

  5. Die affine Beschreibung der Kurve auf ist

    Die partielle Ableitung nach ist und die partielle Ableitung nach ist . Diese verschwinden beide bei . Somit ist ein singulärer Punkt der Kurve.