Ebene projektive Kurve/F2/Ausschöpfung/Aufgabe/Lösung

1. Die partielle Ableitung nach ${}X$ ist ${}1$, daher ist die Kurve glatt.
2. Dies folgt aus dem ersten Teil und Fakt.
3. Sei ${}(x,y)\in K^{2}$. Bei

   ${}x=0\,$

   verbleibt ${}y+y^{4}$, was bei

   ${}y=0,1\,$

   wieder ${}0$ ergibt. Bei

   ${}x=y=1\,$

   ergibt sich ebenfalls ${}0$.

4. Wegen Teil 3 ist nur noch zu zeigen, dass alle ${}K$-Punkte von ${}V_{+}(Z)$ zur Kurve gehören. Mit

   ${}Z=0\,$

   ergibt sich aus der homogenen Gleichung die Bedingung

   ${}X^{2}Y^{4}+X^{4}Y^{2}=X^{2}Y^{2}(Y^{2}+X^{2})=0\,,$

   die für alle Kombinationen aus ${}K$ erfüllt ist.

5. Die affine Beschreibung der Kurve ${}D$ auf ${}D_{+}(X)$ ist

   $Y^{4}+Y^{2}+Z^{5}+Z^{2}+YZ^{5}+Y^{4}Z^{2}.$

   Die partielle Ableitung nach ${}Y$ ist ${}Z^{5}$ und die partielle Ableitung nach ${}Z$ ist ${}Z^{4}+YZ^{4}$. Diese verschwinden beide bei ${}Z=0$. Somit ist ${}(1,1,0)$ ein singulärer Punkt der Kurve.

Zur gelösten Aufgabe