Ebene projektive Kurve/F2/Ausschöpfung/Aufgabe

Wir betrachten die ebene affine Kurve

$C=V(X^2{Y}^4+X^4{Y}^2+X+X^4+Y+Y^4)$

über  $K=\mathbb{Z}/(2)$  und die durch die Homogenisierung gegebene projektive Kurve

$D=V_{+}(X^2{Y}^4+X^4{Y}^2+X{Z}^5+X^4{Z}^2+Y{Z}^5+Y^4{Z}^2)$

1. Zeige, dass $C$ glatt ist.
2. Man folgere, dass das Polynom $X^2{Y}^4+X^4{Y}^2+X+X^4+Y+Y^4$ irreduzibel ist.
3. Zeige, dass jeder Punkt aus $K^2$ zu $C$ gehört.
4. Zeige, dass jeder $K$-Punkt aus ${\mathbb{P}}_K^2$ zu $D$ gehört.
5. Zeige, dass $D$ nicht glatt ist.

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