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Ebene projektive Kurve/Körper/Y^n ist F(X)/Glattheit/Fakt/Beweis

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Beweis

Auf der offenen Menge erhält man die in Fakt beschriebene Situation, diese Punkte sind also glatt. Auf dem Komplement wird die Gleichung zu

mit einem Vorfaktor , woraus folgt. Es gibt also nur noch den weiteren Punkt mit den Koordinaten . Eine affine Umgebung dieses Punktes ist , die affine Version der Gleichung auf diesem Teilstück ist . Die partielle Ableitung nach ist mit . Im Nullpunkt, der dem Punkt entspricht, ist dies gleich , daher ist dies auch ein glatter Punkt.