Eigentliche Bewegungsgruppe/Endliche Untergruppe/Halbachsenoperation/Eigenschaften/Fakt

Es sei  $G\subseteq {\mathrm{SO}}_3(ℝ)$  eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${ℝ}^3$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für zwei äquivalente Halbachsen $H_1$ und $H_2$ sind die Isotropiegruppen $G_{H_1}=\{g\in G\mid g(H_1)=H_1\}$ und $G_{H_2}=\{g\in G\mid g(H_2)=H_2\}$ isomorph.
2. Zu einer Halbachse $H$ aus der Halbachsenklasse $K$ ist

   $\mathrm{\#}\left(G\right)=\mathrm{\#}\left(K\right)\cdot \mathrm{\#}\left(G_H\right).$

3. Zu einer Halbachsenklasse $K$ ist die Abbildung

   $G⟶\mathrm{Perm}(K),g⟼({\sigma }_g:H\mapsto g(H)),$

   ein Gruppenhomomorphismus, dessen Kern die Isotropiegruppe ist.

4. Die Isotropiegruppen zu einer Halbachse $H$ und der gegenüberliegenden Halbachse $-H$ sind isomorph.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen