Einheitskreis/Trigonometrische Parametrisierung/Länge/Beispiel

Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto f(t)=(\cos t,\sin t).$

Die Ableitung davon ist

${}f'(t)=(-\sin t,\cos t)\,.$

Daher ist die Kurvenlänge eines von ${}a$ bis ${}b$ durchlaufenen Teilstückes nach Fakt gleich

${}L_{a}^{b}(f)=\int _{a}^{b}{\sqrt {(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}}}\,dt=\int _{a}^{b}1\,dt=b-a\,.$

Aufgrund der Periodizität der trigonometrischen Funktionen wird der Einheitskreis von ${}0$ bis ${}2\pi$ genau einmal durchlaufen. Die Länge des Kreisbogens ist daher ${}2\pi$.