Einheitskreis/Trigonometrische Parametrisierung/Länge/Beispiel

Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also die Abbildung

$f:ℝ⟶{ℝ}^2,t⟼f(t)=(\cos t,\sin t).$

Die Ableitung davon ist

$f^{\prime }(t)=(-\sin t,\cos t).$

Daher ist die Kurvenlänge eines von $a$ bis $b$ durchlaufenen Teilstückes nach Fakt gleich

$L_a^b(f)={\int }_a^b\sqrt{(-\sin t{)}^2+(\cos t{)}^2}dt={\int }_a^{b}1dt=b-a.$

Aufgrund der Periodizität der trigonometrischen Funktionen wird der Einheitskreis von $0$ bis $2\pi$ genau einmal durchlaufen. Die Länge des Kreisbogens ist daher $2\pi$.