Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/25/Aufgabe/Lösung

1. Die Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ im ${}K^{m}$ heißen eine Basis des ${}K^{m}$, wenn man jeden Vektor ${}w\in K^{m}$ eindeutig als eine Linearkombination mit den Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ schreiben kann.
2. Die Relation ${}\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
   1. Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$.
   2. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$.
   3. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$.
3. Eine Folge in ${}M$ ist eine Abbildung

   $\mathbb {N} \longrightarrow M,\,n\longmapsto x_{n}.$

4. Der Polynomring über einem Körper ${}K$ besteht aus allen Polynomen

   ${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

   mit ${}a_{i}\in K$, ${}n\in \mathbb {N}$, und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

   ${}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$

   definiert ist.

5. Der Restklassenring ${}C/N$ des Ringes ${}C$ der rationalen Cauchy-Folgen modulo des Ideals ${}N$ der Nullfolgen heißt Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen.
6. Ein Laplace-Raum ist eine endliche Menge ${}M$ zusammen mit derjenigen Wahrscheinlichkeitsdichte

   $\lambda \colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},$

   die jedem Element ${}x\in M$ den konstanten Wert ${}{\frac {1}{\#\left(M\right)}}$ zuweist.

Zur gelösten Aufgabe