Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und ${}R/{\mathfrak {a}}$ die Quotientenmenge zur durch ${}{\mathfrak {a}}$ definierten Äquivalenzrelation auf ${}R$ mit der kanonischen Projektion

   $q\colon R\longrightarrow R/{\mathfrak {a}},\,g\longmapsto [g].$

   Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Ringstruktur auf ${}R/{\mathfrak {a}}$ derart, dass ${}q$ ein Ringhomomorphismus

   ist.
2. Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$. Dann besteht der Durchschnitt

   $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$

   aus genau einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.
3. Zu jedem ${}\alpha <{\frac {1}{2}}$ konvergiert die Folge

   ${\frac {1}{2^{n}}}{\left(\sum _{k=0}^{\lfloor \alpha n\rfloor }B_{{\frac {1}{2}},n}(k)\right)}$

   gegen ${}0$.

Zur gelösten Aufgabe