Elementare und algebraische Zahlentheorie/2/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 0 }
\renewcommand{\aacht}{ 0 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 0 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 0 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 6 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 40 }
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\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Das \stichwort {Teilen} {} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.
}{Ein
\stichwort {Untermodul} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einem
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$M$.
}{Die
\stichwort {Ordnung} {}
eines Elementes $f \in R$ an einem Primideal
\mathl{{\mathfrak p} \neq 0}{} in einem Zahlbereich $R$.
}{Die \stichwort {Divisorenklassengruppe} {} zu einem Zahlbereich $R$.
}{Ein \stichwort {normeuklidischer} {} quadratischer Zahlbereich $A_D$ \zusatzklammer {zu \mathlk{D \neq 0,1}{} quadratfrei} {} {.}
}{Die \stichwort {strikte Äquivalenz} {} von binären quadratischen Formen. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Man sagt, dass $a$ das Element $b$ teilt, wenn es ein
\mathl{c \in R}{} derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{ c \cdot a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Eine Teilmenge
\mathl{U \subseteq M}{} heißt
$R$-Untermodul,
wenn sie eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von
\mathl{(M,0,+)}{} ist und wenn für jedes
\mathl{u \in U}{} und
\mathl{r \in R}{} auch
\mathl{ru \in U}{} ist.
}{Die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
\mathl{\mathrm{ord} (f)}{} von $f$ im
\definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{}
$R_ {\mathfrak p}$ heißt die Ordnung von $f$ am Primideal ${\mathfrak p}$.
}{Es sei
\mathl{\operatorname{Div} (R)}{} die Gruppe der
\definitionsverweis {Divisoren}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Div} (R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei die Untergruppe der
\definitionsverweis {Hauptdivisoren}{}{}
Dann nennt man die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{KG}(R)
}
{ =} { \operatorname{Div} (R)/H
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Divisorenklassengruppe von $R$.
}{Der quadratische Zahlbereich $A_D$ heißt normeuklidisch, wenn die
\definitionsverweis {Normfunktion}{}{}
auf $A_D$ eine
\definitionsverweis {euklidische Funktion}{}{}
ist.
}{Zwei
\definitionsverweis {binäre quadratische Formen}{}{}
\mathdisp {F= aX^2+bXY+cY^2 \text{ und } F'= a'X^2+b'XY+c'Y^2} { }
heißen
strikt äquivalent,
wenn es eine ganzzahlige $2 \times 2$-Matrix $M$ mit Determinante $1$ und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F'
}
{ =} { F M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Lemma von Bezout} {} für einen Hauptidealbereich $R$.}{Der Charakterisierungssatz für Primelemente im Ring der Gaußschen Zahlen.}{Der Satz über die Gruppenstruktur von Idealen in einem Zahlbereich.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Elemente
\mathl{a_1 , \ldots , a_n \in R}{} besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler $d$, und dieser lässt sich als Linearkombination der
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} darstellen, d.h. es gibt Elemente
\mathl{r_1 , \ldots , r_n \in R}{} mit
\mathl{r_1a_1+r_2a_2 + \cdots + r_na_n=d}{.}}{Es sei $p$ ein ungerade
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
\aufzaehlungfuenf{$p$ ist die Summe von zwei Quadraten,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{x^2+y^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,y
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{$p$ ist die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
eines Elementes aus
\mathl{\Z [ { \mathrm i} ]}{.}
}{$p$ ist zerlegbar
\zusatzklammer {nicht prim} {} {}
in
\mathl{\Z [ { \mathrm i} ]}{.}
}{$-1$ ist ein Quadrat in
\mathl{\Z/(p)}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}{Es sei
\mathl{\Q \subseteq L}{} eine endliche
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und $R$ der zugehörige
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}
Es sei ${\mathfrak a}$ ein von $0$ verschiedenes
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$. Dann ist ${\mathfrak a}$ eine
\definitionsverweis {freie abelsche Gruppe vom Rang}{}{}
$n$,}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Berechne
\mathl{17^{1000000}}{} in
\mathl{\Z/(35)}{.}
}
{
Der Zahl $17$ entspricht in
\mathl{\Z/(35) \cong \Z/(5) \times \Z/(7)}{} das Paar
\mathl{(2,3)}{.} Das Element $2$ hat in
\mathl{\Z/(5)}{} die Ordnung $4$. Das Element $3$ hat in
\mathl{\Z/(7)}{} wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{3^2
}
{ = }{2
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{3^3
}
{ = }{6
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Ordnung $6$. Somit besitzt $17$ die multiplikative Ordnung $12$. In
\mathl{\Z/(12)}{} gilt
\zusatzklammer {durch abziehen von Vielfachen von \mathlk{12}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1000000
}
{ =} {40000
}
{ =} {4000
}
{ =} {400
}
{ =} {40
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {4
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Daher ist die gefragte Potenz in Produktschreibweise gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (2^4,3^4)
}
{ =} { (4^2, 2^2)
}
{ =} { (1,4)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diesem Paar entspricht das Element $11$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme die Primfaktorzerlegung von
\mathdisp {\binom { 49 } { 6 }} { . }
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \binom { 49 } { 6 }
}
{ =} { { \frac{ 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 }{ 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } }
}
{ =} { { \frac{ 49 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 }{ 5 \cdot 3 } }
}
{ =} { 49 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 3 \cdot 44
}
{ =} { 7 \cdot 7 \cdot 47 \cdot 23 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 2^3 \cdot 3 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 23 \cdot 47
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Finde ein primitives Element in
\mathl{\Z/(11)}{} und in
\mathl{\Z/(121)}{.} Man gebe ferner ein Element der Ordnung $10$ und ein Element der Ordnung $11$ in
\mathl{\Z/(121)}{} an. Gibt es Elemente der Ordnung $10$ und der Ordnung $11$ auch in
\mathl{{\mathbb F}_{121}}{?}
}
{
In $\Z/(11)$ betrachten wir das Element $2$. Die Ordnung von $2$ ist ein Teiler von $10$. Es ist
\mathl{2^2=4 \neq 1}{} und
\mathl{2^5=32=-1 \neq 1}{,} so dass die Ordnung $10$ ist, also ist $2$ primitiv.
Wir betrachten $2$ in
\mathl{\Z/(121)}{.} Dieser Ring hat $110$ Einheiten, also ist die Ordnung von $2$ ein Teiler von $110$. Andererseits folgt aus
\mathl{2^k =1 \mod 121}{,} dass auch
\mathl{2^k = 1 \mod 11}{} ist. Dann muss $k$ ein Vielfaches von $10$sein. An möglichen Ordnungen bleiben also
\mathl{k=10}{} oder
\mathl{k=110}{.} Es ist
\mathl{2^{10} = 1024 =56 \neq 1 \mod 121}{.} Also ist die Ordnung $110$und $2$ ist primitiv modulo $121$.
Damit hat
\mathl{2^{10} = 56}{} die Ordnung $11$ und
\mathl{2^{11} = 112}{} hat die Ordnung
\mathl{10}{.}
${\mathbb F}_{121}$ ist ein Körper und die Einheitengruppe ist zyklisch der Ordnung
\mathl{120}{.} Daher gibt es dort Elemente der Ordnung $10$, aber nicht der Ordnung
\mathl{11}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Finde drei Quadratzahlen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u^2
}
{ <} {v^2
}
{ <} {w^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
derart, dass der Abstand von $u^2$ zu $v^2$ gleich dem Abstand von $v^2$ zu $w^2$ ist.
}
{
Man kann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1^2
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{5^2
}
{ = }{25
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{7^2
}
{ = }{49
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nehmen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}
Zeige unter Verwendung der
\definitionsverweis {Norm}{}{,}
dass jedes Element
\mathl{f \in R}{,}
\mathl{f \neq 0}{,} eine Faktorisierung in
\definitionsverweis {irreduzible Elemente}{}{}
besitzt.
}
{
Induktion über
\mathl{\betrag { N(f) }}{.} Bei
\mathl{\betrag { N(f) } = 1}{} liegt eine Einheit vor und es ist nichts zu zeigen. Es sei also $N(f) =n \geq 2$ und die Existenz einer Zerlegung in irreduzible Elemente sei für alle $g$ mit
\mathl{\betrag { N(g) } < n}{} schon bewiesen. Wenn $f$ irreduzibel ist, so ist nichts zu zeigen. Andernfalls gibt es eine Zerlegung mit
\mathl{f=gh}{,} wobei
\mathl{\betrag { N(g) } , \betrag { N(h) } < n}{} sind und daher nach Induktionsvoraussetzung eine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzen. Daraus ergibt sich die Zerlegung von $f$ in irreduzible Elemente.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Zeige, dass der Körper der \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{} $\Q$ \definitionsverweis {überabzählbar}{}{} viele \definitionsverweis {Unterringe}{}{} besitzt.
}
{
Es sei $T$ eine Teilmenge der Primzahlen. Da es unendlich viele Primzahlen gibt, gibt es überabzählbar viele Teilmengen davon. Zu $T$ gehört das multiplikative System $M (T)$, das aus allen ganzen Zahlen besteht, in deren Primfaktorzerlegung nur Primzahlen aus $T$ vorkommen. Die
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z_{M(T)}
}
{ \subseteq} { \Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besteht aus allen rationalen Zahlen, die man mit einem Nenner schreiben kann, in dessen Primfaktorzerlegung nur Primzahlen aus $T$ vorkommen. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung in $\Z$ sind diese Ringe für verschiedene Teilmengen verschieden.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{A_{14}
}
{ = }{\Z[\sqrt{14}]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{14
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Berechne zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q
}
{ =} {\frac{3}{5} - \frac{1}{7} \sqrt{14}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den zugehörigen
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{.}
}
{
Es ist
\mathdisp {q = \frac{ 21 - 5 \sqrt{14} } {35}} { . }
Für die Primfaktoren des Nenners berechnen wir
\mathl{p=5}{:}
\mathl{R/(5) = \Z/(5) [X]/(X^2-4)}{.} Hier ist
\mathl{X^2-4 =(X-2)(X+2)}{,} es liegt also der zerlegte Fall vor. Den zwei Primidealen im Restklassenring entsprechen die Primideale
\mathdisp {{\mathfrak p} =(5, 2 + \sqrt{14})\text { und } \overline{\mathfrak p} =(5, 2 - \sqrt{14})} { }
und es ist
\mathl{(5) = {\mathfrak p}\overline{\mathfrak p}}{.}
$p=7$
\mathl{R/(7) = \Z/(7) [X]/(X^2)}{.} Hier liegt also der verzweigte Fall vor. Dem Primideal im Restklassenring entspricht das Primideal
\mathdisp {{\mathfrak q} = (7, \sqrt{14})} { }
und es ist
\mathl{(7) = {\mathfrak q}^2}{,}
Für den Zähler betrachten wir
\mathdisp {(21 - 5 \sqrt{14}) (21 + 5 \sqrt{14}) = 441 -25 \cdot 14 = 441 - 350= 91 =7 \cdot 13} { . }
Für
\mathl{p=13}{} ergibt sich:
\mathl{R/(13) = \Z/(13) [X]/(X^2-1)}{.} Hier liegt also wieder der zerlegte Fall vor,
\mathl{X^2-1 =(X-1)(X+1)}{.} Also liegen darüber die Primideale
\mathdisp {{\mathfrak m} =(13, 1 + \sqrt{14}) \text{ und } \overline{\mathfrak m} =(13, 1 - \sqrt{14})} { }
und es ist
\mathl{(13)= {\mathfrak m} \overline{\mathfrak m}}{.} Wir müssen nun bestimmen, ob $21 - 5 \sqrt{14}$ zu
\mathl{{\mathfrak m}}{} oder zu $\overline{\mathfrak m}$ gehört. Eine direkte Rechnung ergibt
\mathl{2 \cdot 13 -5 (1+ \sqrt{14}) = 21 -5 \sqrt{14}}{,} so dass
\mathl{21 - 5 \sqrt{14}\in {\mathfrak m}}{} vorliegt. Damit ist insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div}(q)
}
{ =} {({\mathfrak q} + {\mathfrak m}) -({ \mathfrak p } + \overline{\mathfrak p} + 2{\mathfrak q})
}
{ =} { {\mathfrak m} - {\mathfrak p} - \overline{ \mathfrak p } - { \mathfrak q}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{D \neq 0,1}{} eine
\definitionsverweis {quadratfreie}{}{}
Zahl und sei $A_D$ ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.}
Definiere die Konjugation zu einem Element
\mathl{f \in \Q[\sqrt{D}]}{} und zu einem Element
\mathl{f \in A_D}{.} Definiere zu einem Ideal
\mathl{\mathfrak a \neq 0}{} das konjugierte Ideal $\overline{\mathfrak a}$ und zeige, dass es sich um ein Ideal handelt. Zeige, dass ${\mathfrak a}$ und $\overline{ {\mathfrak a} }$ in der
\definitionsverweis {Klassengruppe}{}{}
invers zueinander sind.
}
{
Die Konjugation zu einem Element
\mathl{f \in \Q [\sqrt{D}]}{} ist folgendermaßen definiert: man kann $f$ schreiben als
\mathl{f=a + b \sqrt{D}}{} mit
\mathl{a,b \in \Q}{,} und definiert
\mathl{\bar{f} = a-b \sqrt{D}}{.} Für Elemente aus $A_D$ ist die Konjugation genauso definiert.
Zu einem Ideal $\mathfrak a$ setzt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{\mathfrak a}
}
{ =} { { \left\{ \bar{f} \mid f \in {\mathfrak a} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist ein Ideal wegen
\mathl{\bar{f} + \bar{g} = \overline{f+g}}{} und wegen
\mathl{a \bar{f} = \overline{\bar{a} f}}{.}
Nach
Fakt
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} \overline{\mathfrak a}
}
{ =} {(N(\mathfrak a))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Hauptideal, also ist das Produkt der beiden Ideale das neutrale Element in der Klassengruppe, also sind sie invers zueinander.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5 (3+2)}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige unter Verwendung von
Fakt,
dass
\mathl{A_{5}}{}
\definitionsverweis {faktoriell}{}{}
ist.
} {Sieht nicht die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{- { \left( 1+ \sqrt{5} \right) } { \left( 1- \sqrt{5} \right) }
}
{ =} {4
}
{ =} { 2 \cdot 2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wie eine Zerlegung in wesentlich verschiedene irreduzible Elemente aus? Wie lautet die Primfaktorzerlegung von $4$ in $A_5$?
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Die Diskriminante des Zahlbereichs ist $5$, daher müssen nur die Primzahlen
\mathl{\leq { \frac{ \sqrt{5} }{ 2 } }}{} überprüft werden, also nur die Primzahl $2$. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A_{5}
}
{ =} { \Z [U]/( U^2 - U -1 )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Modulo $2$ ist dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(2) [U]/( U^2 - U -1 )
}
{ =} { \Z/(2) [U]/( U^2 + U +1 )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und dies ist ein Körper mit $4$ Elementen, da dieses quadratisches Polynom nullstellenfrei und damit irreduzibel ist. Also ist $2$ prim in $A_{5}$ und dieser Zahlbereich ist faktoriell.
} {Da die Zahl $2$ im Zahlbereich prim ist, muss sie einen der Faktoren
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{ \left( 1+ \sqrt{5} \right) } { \left( 1- \sqrt{5} \right) }
}
{ =} {-4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
teilen. In der Tat sind
\mathl{{ \frac{ 1+ \sqrt{5} }{ 2 } }}{} und
\mathl{{ \frac{ 1- \sqrt{5} }{ 2 } }}{} Einheiten in diesem Zahlbereich, da die Norm davon $- 1$ ist, weil die Norm von
\mathl{1 \pm \sqrt{5}}{} gleich $-4$ ist. Somit sind
\mathkor {} {1+ \sqrt{5}} {und} {1 -\sqrt{5}} {}
beide assoziiert zur $2$
\zusatzklammer {und auch untereinander} {} {}
und es liegt keine wesentlich verschiedene Primfaktorzerlegung vor.
}
}