Elementare und algebraische Zahlentheorie/2/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	5	2	0	0	3	0	4	0	0	6	4	5	40

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Teilen in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Ein Untermodul ${}U\subseteq M$ zu einem ${}R$-Modul ${}M$.
3. Die Ordnung eines Elementes ${}f\in R$ an einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ in einem Zahlbereich ${}R$.
4. Die Divisorenklassengruppe zu einem Zahlbereich ${}R$.
5. Ein normeuklidischer quadratischer Zahlbereich ${}A_{D}$ (zu $D\neq 0,1$ quadratfrei).
6. Die strikte Äquivalenz von binären quadratischen Formen.

Lösung

1. Man sagt, dass ${}a$ das Element ${}b$ teilt, wenn es ein ${}c\in R$ derart gibt, dass ${}b=c\cdot a$ ist.
2. Eine Teilmenge ${}U\subseteq M$ heißt ${}R$-Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von ${}(M,0,+)$ ist und wenn für jedes ${}u\in U$ und ${}r\in R$ auch ${}ru\in U$ ist.
3. Die Ordnung ${}\mathrm {ord} (f)$ von ${}f$ im diskreten Bewertungsring ${}R_{\mathfrak {p}}$ heißt die Ordnung von ${}f$ am Primideal ${}{\mathfrak {p}}$.
4. Es sei ${}\operatorname {Div} (R)$ die Gruppe der Divisoren und ${}H\subseteq \operatorname {Div} (R)$ sei die Untergruppe der Hauptdivisoren Dann nennt man die Restklassengruppe

   ${}\operatorname {KG} (R)=\operatorname {Div} (R)/H\,$

   die Divisorenklassengruppe von ${}R$.

5. Der quadratische Zahlbereich ${}A_{D}$ heißt normeuklidisch, wenn die Normfunktion auf ${}A_{D}$ eine euklidische Funktion ist.
6. Zwei binäre quadratische Formen

   $F=aX^{2}+bXY+cY^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,F'=a'X^{2}+b'XY+c'Y^{2}$

   heißen strikt äquivalent, wenn es eine ganzzahlige ${}2\times 2$-Matrix ${}M$ mit Determinante ${}1$ und mit

   ${}F'=FM\,$

   gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Lemma von Bezout für einen Hauptidealbereich ${}R$.
2. Der Charakterisierungssatz für Primelemente im Ring der Gaußschen Zahlen.
3. Der Satz über die Gruppenstruktur von Idealen in einem Zahlbereich.

Lösung

1. Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler ${}d$, und dieser lässt sich als Linearkombination der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ darstellen, d.h. es gibt Elemente ${}r_{1},\ldots ,r_{n}\in R$ mit ${}r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+\cdots +r_{n}a_{n}=d$.
2. Es sei ${}p$ ein ungerade Primzahl. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
   1. ${}p$ ist die Summe von zwei Quadraten, ${}p=x^{2}+y^{2}$ mit ${}x,y\in \mathbb {Z}$.
   2. ${}p$ ist die Norm eines Elementes aus ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.
   3. ${}p$ ist zerlegbar (nicht prim) in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.
   4. ${}-1$ ist ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$.
   5. Es ist ${}p=1\mod 4$.
3. Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$. Dann ist ${}{\mathfrak {a}}$ eine freie abelsche Gruppe vom Rang ${}n$,

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne ${}17^{1000000}$ in ${}\mathbb {Z} /(35)$.

Lösung

Der Zahl ${}17$ entspricht in ${}\mathbb {Z} /(35)\cong \mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(7)$ das Paar ${}(2,3)$. Das Element ${}2$ hat in ${}\mathbb {Z} /(5)$ die Ordnung ${}4$. Das Element ${}3$ hat in ${}\mathbb {Z} /(7)$ wegen ${}3^{2}=2\neq 1$ und ${}3^{3}=6\neq 1$ die Ordnung ${}6$. Somit besitzt ${}17$ die multiplikative Ordnung ${}12$. In ${}\mathbb {Z} /(12)$ gilt (durch abziehen von Vielfachen von $12$)

${}1000000=40000=4000=400=40=4\,.$

Daher ist die gefragte Potenz in Produktschreibweise gleich

${}(2^{4},3^{4})=(4^{2},2^{2})=(1,4)\,.$

Diesem Paar entspricht das Element ${}11$.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von

${\binom {49}{6}}.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\binom {49}{6}}&={\frac {49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\\&={\frac {49\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{5\cdot 3}}\\&=49\cdot 47\cdot 46\cdot 3\cdot 44\\&=7\cdot 7\cdot 47\cdot 23\cdot 2\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 11\\&=2^{3}\cdot 3\cdot 7^{2}\cdot 11\cdot 23\cdot 47.\end{aligned}}$

Aufgabe (5 Punkte)

Finde ein primitives Element in ${}\mathbb {Z} /(11)$ und in ${}\mathbb {Z} /(121)$. Man gebe ferner ein Element der Ordnung ${}10$ und ein Element der Ordnung ${}11$ in ${}\mathbb {Z} /(121)$ an. Gibt es Elemente der Ordnung ${}10$ und der Ordnung ${}11$ auch in ${}{\mathbb {F} }_{121}$?

Lösung

In ${}\mathbb {Z} /(11)$ betrachten wir das Element ${}2$. Die Ordnung von ${}2$ ist ein Teiler von ${}10$. Es ist ${}2^{2}=4\neq 1$ und ${}2^{5}=32=-1\neq 1$, sodass die Ordnung ${}10$ ist, also ist ${}2$ primitiv.

Wir betrachten ${}2$ in ${}\mathbb {Z} /(121)$. Dieser Ring hat ${}110$ Einheiten, also ist die Ordnung von ${}2$ ein Teiler von ${}110$. Andererseits folgt aus ${}2^{k}=1\mod 121$, dass auch ${}2^{k}=1\mod 11$ ist. Dann muss ${}k$ ein Vielfaches von ${}10$sein. An möglichen Ordnungen bleiben also ${}k=10$ oder ${}k=110$. Es ist ${}2^{10}=1024=56\neq 1\mod 121$. Also ist die Ordnung ${}110$und ${}2$ ist primitiv modulo ${}121$.

Damit hat ${}2^{10}=56$ die Ordnung ${}11$ und ${}2^{11}=112$ hat die Ordnung ${}10$.

${}{\mathbb {F} }_{121}$ ist ein Körper und die Einheitengruppe ist zyklisch der Ordnung ${}120$. Daher gibt es dort Elemente der Ordnung ${}10$, aber nicht der Ordnung ${}11$.

Aufgabe (2 Punkte)

Finde drei Quadratzahlen

${}u^{2}<v^{2}<w^{2}\,$

derart, dass der Abstand von ${}u^{2}$ zu ${}v^{2}$ gleich dem Abstand von ${}v^{2}$ zu ${}w^{2}$ ist.

Lösung

Man kann ${}1^{2}=1$, ${}5^{2}=25$ und ${}7^{2}=49$ nehmen.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Zeige unter Verwendung der Norm, dass jedes Element ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, eine Faktorisierung in irreduzible Elemente besitzt.

Lösung

Induktion über ${}\vert {N(f)}\vert$. Bei ${}\vert {N(f)}\vert =1$ liegt eine Einheit vor und es ist nichts zu zeigen. Es sei also ${}N(f)=n\geq 2$ und die Existenz einer Zerlegung in irreduzible Elemente sei für alle ${}g$ mit ${}\vert {N(g)}\vert <n$ schon bewiesen. Wenn ${}f$ irreduzibel ist, so ist nichts zu zeigen. Andernfalls gibt es eine Zerlegung mit ${}f=gh$, wobei ${}\vert {N(g)}\vert ,\vert {N(h)}\vert <n$ sind und daher nach Induktionsvoraussetzung eine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzen. Daraus ergibt sich die Zerlegung von ${}f$ in irreduzible Elemente.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass der Körper der rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ überabzählbar viele Unterringe besitzt.

Lösung

Es sei ${}T$ eine Teilmenge der Primzahlen. Da es unendlich viele Primzahlen gibt, gibt es überabzählbar viele Teilmengen davon. Zu ${}T$ gehört das multiplikative System ${}M(T)$, das aus allen ganzen Zahlen besteht, in deren Primfaktorzerlegung nur Primzahlen aus ${}T$ vorkommen. Die Nenneraufnahme

${}\mathbb {Z} _{M(T)}\subseteq \mathbb {Q} \,$

besteht aus allen rationalen Zahlen, die man mit einem Nenner schreiben kann, in dessen Primfaktorzerlegung nur Primzahlen aus ${}T$ vorkommen. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung in ${}\mathbb {Z}$ sind diese Ringe für verschiedene Teilmengen verschieden.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}R=A_{14}=\mathbb {Z} [{\sqrt {14}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=14$. Berechne zu

${}q={\frac {3}{5}}-{\frac {1}{7}}{\sqrt {14}}\,$

den zugehörigen Hauptdivisor.

Lösung

Es ist

$q={\frac {21-5{\sqrt {14}}}{35}}.$

Für die Primfaktoren des Nenners berechnen wir

${}p=5$:

${}R/(5)=\mathbb {Z} /(5)[X]/(X^{2}-4)$. Hier ist ${}X^{2}-4=(X-2)(X+2)$, es liegt also der zerlegte Fall vor. Den zwei Primidealen im Restklassenring entsprechen die Primideale

${\mathfrak {p}}=(5,2+{\sqrt {14}}){\text{ und }}{\overline {\mathfrak {p}}}=(5,2-{\sqrt {14}})$

und es ist ${}(5)={\mathfrak {p}}{\overline {\mathfrak {p}}}$.

${}p=7$:

${}R/(7)=\mathbb {Z} /(7)[X]/(X^{2})$. Hier liegt also der verzweigte Fall vor. Dem Primideal im Restklassenring entspricht das Primideal

${\mathfrak {q}}=(7,{\sqrt {14}})$

und es ist ${}(7)={\mathfrak {q}}^{2}$,

Für den Zähler betrachten wir

$(21-5{\sqrt {14}})(21+5{\sqrt {14}})=441-25\cdot 14=441-350=91=7\cdot 13.$

Für ${}p=13$ ergibt sich:

${}R/(13)=\mathbb {Z} /(13)[X]/(X^{2}-1)$. Hier liegt also wieder der zerlegte Fall vor, ${}X^{2}-1=(X-1)(X+1)$. Also liegen darüber die Primideale

${\mathfrak {m}}=(13,1+{\sqrt {14}}){\text{ und }}{\overline {\mathfrak {m}}}=(13,1-{\sqrt {14}})$

und es ist ${}(13)={\mathfrak {m}}{\overline {\mathfrak {m}}}$. Wir müssen nun bestimmen, ob ${}21-5{\sqrt {14}}$ zu ${}{\mathfrak {m}}$ oder zu ${}{\overline {\mathfrak {m}}}$ gehört. Eine direkte Rechnung ergibt ${}2\cdot 13-5(1+{\sqrt {14}})=21-5{\sqrt {14}}$, sodass ${}21-5{\sqrt {14}}\in {\mathfrak {m}}$ vorliegt. Damit ist insgesamt

${}\operatorname {div} (q)=({\mathfrak {q}}+{\mathfrak {m}})-({\mathfrak {p}}+{\overline {\mathfrak {p}}}+2{\mathfrak {q}})={\mathfrak {m}}-{\mathfrak {p}}-{\overline {\mathfrak {p}}}-{\mathfrak {q}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und sei ${}A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich. Definiere die Konjugation zu einem Element ${}f\in \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ und zu einem Element ${}f\in A_{D}$. Definiere zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ das konjugierte Ideal ${}{\overline {\mathfrak {a}}}$ und zeige, dass es sich um ein Ideal handelt. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\overline {\mathfrak {a}}}$ in der Klassengruppe invers zueinander sind.

Lösung

Die Konjugation zu einem Element ${}f\in \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ ist folgendermaßen definiert: man kann ${}f$ schreiben als ${}f=a+b{\sqrt {D}}$ mit ${}a,b\in \mathbb {Q}$, und definiert ${}{\bar {f}}=a-b{\sqrt {D}}$. Für Elemente aus ${}A_{D}$ ist die Konjugation genauso definiert.

Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ setzt man

${}{\overline {\mathfrak {a}}}={\left\{{\bar {f}}\mid f\in {\mathfrak {a}}\right\}}\,.$

Dies ist ein Ideal wegen ${}{\bar {f}}+{\bar {g}}={\overline {f+g}}$ und wegen ${}a{\bar {f}}={\overline {{\bar {a}}f}}$.

Nach Fakt ist

${}{\mathfrak {a}}{\overline {\mathfrak {a}}}=(N({\mathfrak {a}}))\,$

ein Hauptideal, also ist das Produkt der beiden Ideale das neutrale Element in der Klassengruppe, also sind sie invers zueinander.

Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Wir betrachten den quadratischen Zahlbereich zu ${}D=5$.

1. Zeige unter Verwendung von Fakt, dass ${}A_{5}$ faktoriell ist.
2. Sieht nicht die Gleichung

   ${}-{\left(1+{\sqrt {5}}\right)}{\left(1-{\sqrt {5}}\right)}=4=2\cdot 2\,$

   wie eine Zerlegung in wesentlich verschiedene irreduzible Elemente aus? Wie lautet die Primfaktorzerlegung von ${}4$ in ${}A_{5}$?

Lösung

1. Die Diskriminante des Zahlbereichs ist ${}5$, daher müssen nur die Primzahlen ${}\leq {\frac {\sqrt {5}}{2}}$ überprüft werden, also nur die Primzahl ${}2$. Es ist

   ${}A_{5}=\mathbb {Z} [U]/(U^{2}-U-1)\,.$

   Modulo ${}2$ ist dies

   ${}\mathbb {Z} /(2)[U]/(U^{2}-U-1)=\mathbb {Z} /(2)[U]/(U^{2}+U+1)\,$

   und dies ist ein Körper mit ${}4$ Elementen, da dieses quadratisches Polynom nullstellenfrei und damit irreduzibel ist. Also ist ${}2$ prim in ${}A_{5}$ und dieser Zahlbereich ist faktoriell.

2. Da die Zahl ${}2$ im Zahlbereich prim ist, muss sie einen der Faktoren

   ${}{\left(1+{\sqrt {5}}\right)}{\left(1-{\sqrt {5}}\right)}=-4\,$

   teilen. In der Tat sind ${}{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ und ${}{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$ Einheiten in diesem Zahlbereich, da die Norm davon ${}-1$ ist, weil die Norm von ${}1\pm {\sqrt {5}}$ gleich ${}-4$ ist. Somit sind ${}1+{\sqrt {5}}$ und ${}1-{\sqrt {5}}$ beide assoziiert zur ${}2$ (und auch untereinander) und es liegt keine wesentlich verschiedene Primfaktorzerlegung vor.