Elementare und algebraische Zahlentheorie/2/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 2 5 0 0 0 3 0 4 0 0 6 4 5 38




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Teilen in einem kommutativen Ring .
  2. Ein Untermodul zu einem -Modul .
  3. Die Ordnung eines Elementes an einem Primideal in einem Zahlbereich .
  4. Die Divisorenklassengruppe zu einem Zahlbereich .
  5. Ein normeuklidischer quadratischer Zahlbereich (zu quadratfrei).
  6. Die strikte Äquivalenz von binären quadratischen Formen.


Lösung

  1. Man sagt, dass das Element teilt, wenn es ein derart gibt, dass ist.
  2. Eine Teilmenge heißt -Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von ist und wenn für jedes und auch ist.
  3. Die Ordnung von im diskreten Bewertungsring heißt die Ordnung von am Primideal .
  4. Es sei die Gruppe der Divisoren und sei die Untergruppe der Hauptdivisoren Dann nennt man die Restklassengruppe

    die Divisorenklassengruppe von .

  5. Der quadratische Zahlbereich heißt normeuklidisch, wenn die Normfunktion auf eine euklidische Funktion ist.
  6. Zwei binäre quadratische Formen

    heißen strikt äquivalent, wenn es eine ganzzahlige -Matrix mit Determinante und mit

    gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Lemma von Bezout für einen Hauptidealbereich .
  2. Der Charakterisierungssatz für Primelemente im Ring der Gaußschen Zahlen.
  3. Der Satz über die Gruppenstruktur von Idealen in einem Zahlbereich.


Lösung

  1. Elemente besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler , und dieser lässt sich als Linearkombination der darstellen, d.h. es gibt Elemente mit .
  2. Sei ein ungerade Primzahl. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
    1. ist die Summe von zwei Quadraten, mit .
    2. ist die Norm eines Elementes aus .
    3. ist zerlegbar (nicht prim) in .
    4. ist ein Quadrat in .
  3. Sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und der zugehörige Zahlbereich. Sei ein von verschiedenes Ideal in . Dann ist eine freie abelsche Gruppe vom Rang ,


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne in .


Lösung

Der Zahl entspricht in das Paar . Das Element hat in die Ordnung . Das Element hat in wegen und die Ordnung . In gilt (durch abziehen von und etc.)

Daher ist die gefragte Potenz in Produktschreibweise gleich

Diesem Paar entspricht das Element .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von


Lösung

Es ist


Aufgabe (5 Punkte)

Finde ein primitives Element in und in . Man gebe ferner ein Element der Ordnung und ein Element der Ordnung in an. Gibt es Elemente der Ordnung und der Ordnung auch in ?


Lösung

In betrachten wir das Element . Die Ordnung von ist ein Teiler von . Es ist und , so dass die Ordnung ist, also ist primitiv.

Wir betrachten in . Dieser Ring hat Einheiten, also ist die Ordnung von ein Teiler von . Andererseits folgt aus , dass auch ist. Dann muss ein Vielfaches von sein. An möglichen Ordnungen bleiben also oder . Es ist . Also ist die Ordnung und ist primitiv modulo .

Damit hat die Ordnung und hat die Ordnung .

ist ein Körper und die Einheitengruppe ist zyklisch der Ordnung . Daher gibt es dort Elemente der Ordnung , aber nicht der Ordnung .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Zahlbereich. Zeige unter Verwendung der Norm, dass jedes Element , , eine Faktorisierung in irreduzible Elemente besitzt.


Lösung

Induktion über . Bei liegt eine Einheit vor und es ist nichts zu zeigen. Sei also und die Existenz einer Zerlegung in irreduzible Elemente sei für alle mit schon bewiesen. Wenn irreduzibel ist, so ist nichts zu zeigen. Andernfalls gibt es eine Zerlegung mit , wobei sind und daher nach Induktionsvoraussetzung eine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzen. Daraus ergibt sich die Zerlegung von in irreduzible Elemente.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass der Körper der rationalen Zahlen überabzählbar viele Unterringe besitzt.


Lösung

Es sei eine Teilmenge der Primzahlen. Da es unendlich viele Primzahlen gibt, gibt es überabzählbar viele Teilmengen davon. Zu gehört das multiplikative System , das aus allen ganzen Zahlen besteht, in deren Primfaktorzerlegung nur Primzahlen aus vorkommen. Die Nenneraufnahme

besteht aus allen rationalen Zahlen, die man mit einem Nenner schreiben kann, in dessen Primfaktorzerlegung nur Primzahlen aus vorkommen. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung in sind diese Ringe für verschiedene Teilmengen verschieden.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 Punkte)

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Berechne zu

den zugehörigen Hauptdivisor.


Lösung

Es ist

Für die Primfaktoren des Nenners berechnen wir

:

. Hier ist , es liegt also der zerlegte Fall vor. Den zwei Primidealen im Restklassenring entsprechen die Primideale

und es ist .

:

. Hier liegt also der verzweigte Fall vor. Dem Primideal im Restklassenring entspricht das Primideal

und es ist ,

Für den Zähler betrachten wir

Für ergibt sich:

. Hier liegt also wieder der zerlegte Fall vor, . Also liegen darüber die Primideale

und es ist . Wir müssen nun bestimmen, ob zu oder zu gehört. Eine direkte Rechnung ergibt , so dass vorliegt. Damit ist insgesamt


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine quadratfreie Zahl und sei ein quadratischer Zahlbereich. Definiere die Konjugation zu einem Element und zu einem Element . Definiere zu einem Ideal das konjugierte Ideal und zeige, dass es sich um ein Ideal handelt. Zeige, dass und in der Klassengruppe invers zueinander sind.


Lösung

Die Konjugation zu einem Element ist folgendermaßen definiert: man kann schreiben als mit , und definiert . Für Elemente aus ist die Konjugation genauso definiert.

Zu einem Ideal setzt man

Dies ist ein Ideal wegen und wegen .

Nach Fakt ist

ein Hauptideal, also ist das Produkt der beiden Ideale das neutrale Element in der Klassengruppe, also sind sie invers zueinander.


Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Wir betrachten den quadratischen Zahlbereich zu .

  1. Zeige unter Verwendung von Fakt, dass faktoriell ist.
  2. Sieht nicht die Gleichung

    wie eine Zerlegung in wesentlich verschiedene irreduzible Elemente aus? Wie lautet die Primfaktorzerlegung von in ?


Lösung

  1. Die Diskriminante des Zahlbereichs ist , daher müssen nur die Primzahlen überprüft werden, also nur die Primzahl . Es ist

    Modulo ist dies

    und dies ist ein Körper mit Elementen, da dieses quadratisches Polynom nullstellenfrei und damit irreduzibel ist. Also ist prim in und dieser Zahlbereich ist faktoriell.

  2. Da die Zahl im Zahlbereich prim ist, muss sie einen der Faktoren

    teilen. In der Tat sind und Einheiten in diesem Zahlbereich, da die Norm davon ist, weil die Norm von gleich ist. Somit sind und beide assoziiert zur (und auch untereinander) und es liegt keine wesentlich verschiedene Primfaktorzerlegung vor.