Elementare und algebraische Zahlentheorie/4/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 4 0 3 2 9 0 0 0 0 0 0 0 0 27



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Assoziiertheit von Elementen in einem kommutativen Ring .
  2. Ein Hauptidealbereich.
  3. Ein pythagoreisches Tripel.
  4. Der Grad einer endlichen Körpererweiterung .
  5. Die konvexe Hülle von .
  6. Den Divisor zu einem Ideal in einem Zahlbereich .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Charakterisierungssatz für Restklassenringe von mit zyklischer Einheitengruppe.
  2. Der Satz über die Charakterisierung von pythagoreischen Tripeln.
  3. Der Satz über Primideale in einem Zahlbereich.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien drei verschiedene Zahlen gegeben. Wie viele Teiler besitzt das Produkt minimal?


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring mit Elementen, wobei eine Primzahl sei. Zeige, dass ein Körper ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Betrachte die Quadratrestgruppe

wobei die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse einen Repräsentanten aus gibt.


Aufgabe * (9 Punkte)

Zeige, dass die diophantische Gleichung

keine ganzzahlige nichttriviale Lösung besitzt.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)