Elementare und algebraische Zahlentheorie/4/Klausur mit Lösungen/latex

%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle

\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 3 }

\renewcommand{\avier}{ 4 }

\renewcommand{\afuenf}{ 0 }

\renewcommand{\asechs}{ 3 }

\renewcommand{\asieben}{ 2 }

\renewcommand{\aacht}{ 9 }

\renewcommand{\aneun}{ 0 }

\renewcommand{\azehn}{ 0 }

\renewcommand{\aelf}{ 0 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 0 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 27 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesechzehn

\klausurnote

\newpage

\setcounter{section}{0}

\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Assoziiertheit} {} von Elementen
\mathl{a,b}{} in einem kommutativen Ring $R$.

}{Ein \stichwort {Hauptidealbereich} {.}

}{Ein \stichwort {pythagoreisches Tripel} {.}

}{Der \stichwort {Grad} {} einer endlichen Körpererweiterung
\mathl{K \subseteq L}{.}

}{Die \stichwort {konvexe Hülle} {} von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}{Den \stichwort {Divisor zu einem Ideal} {}
\mathl{{\mathfrak a} \neq 0}{} in einem Zahlbereich $R$. }

}
{

\aufzaehlungsechs{Zwei Elemente $a$ und $b$ heißen assoziiert, wenn es eine \definitionsverweis {Einheit}{}{}
\mathl{u \in R}{} derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{ub }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,} in dem jedes \definitionsverweis {Ideal}{}{} ein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} ist, heißt Hauptidealbereich. }{Ein pythagoreisches Tripel ist eine ganzzahlige Lösung
\mathl{(x,y,z) \in \Z^3}{} der diophantischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2 }
{ =} {z^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Bei einer endlichen Körpererweiterung
\mathl{K \subseteq L}{} nennt man die $K$-\definitionsverweis {(Vektorraum-)Dimension}{}{} von $L$ den Grad der Körpererweiterung. }{Die kleinste \definitionsverweis {konvexe Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die $U$ umfasst, heißt die konvexe Hülle von $U$. }{Man nennt den \definitionsverweis {Divisor}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div}({\mathfrak a}) }
{ =} {\sum_{\mathfrak p} m_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ m_{\mathfrak p} }
{ =} {\operatorname{ord}_{\mathfrak p} ({\mathfrak a} ) }
{ =} {\operatorname{min} \{\operatorname{ord}_{\mathfrak p} (f) : \, f \in {\mathfrak a},\, f \neq 0 \} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} den Divisor zum Ideal ${\mathfrak a}$. }

}

\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Charakterisierungssatz für Restklassenringe von $\Z$ mit zyklischer Einheitengruppe.}{Der Satz über die Charakterisierung von pythagoreischen Tripeln.}{Der Satz über Primideale in einem Zahlbereich.}

}
{

\aufzaehlungdrei{Die \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
\mathl{{ \left( \Z/(n) \right) }^{\times}}{} ist genau dann \definitionsverweis {zyklisch}{}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} {1,2,4,p^s,2p^s }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist, wobei $p$ eine ungerade Primzahl und
\mathl{s \geq 1}{} ist.}{\faktsituation {Es sei
\mathl{(x,y,z)}{} ein \definitionsverweis {pythagoreisches Tripel}{}{} mit $y$ gerade und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \neq }{-x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze teilerfremde Zahlen
\mathl{(u,v)}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mathdisp {x = a (v^2-u^2), \, y = a(2uv),\, z=a(u^2+v^2)} { . }
}
\faktzusatz {Das pythagoreische Tripel ist primitiv genau dann, wenn $a$ eine Einheit ist und $u$ und $v$ nicht beide ungerade sind.}
\faktzusatz {}}{Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.} Dann ist jedes von $0$ verschiedene \definitionsverweis {Primideal}{}{} von $R$ bereits ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{.}}

}

\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Zerlegung in \definitionsverweis {Primzahlen}{}{} besitzt.

}
{

Wir beweisen die Existenz durch Induktion über $n$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} liegt eine Primzahl vor. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist entweder $n$ eine Primzahl, und diese bildet die Primfaktorzerlegung, oder aber $n$ ist keine Primzahl. In diesem Fall gibt es eine nichttriviale Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{ ab }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit kleineren Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b }
{ < }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Für diese Zahlen gibt es nach Induktionsvoraussetzung jeweils eine Zerlegung in Primfaktoren, und diese setzen sich zu einer Primfaktorzerlegung für $n$ zusammen.

}

\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es seien drei verschiedene Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. Wie viele Teiler besitzt das Produkt
\mathl{a \cdot b \cdot c}{} minimal?

}
{

Wir können
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ <} {b }
{ <} {c }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} annehmen. Das Produkt
\mathl{abc}{} hat zumindest die Teiler
\mathdisp {1, a,b,c, ab,ac,bc,abd} { , }
wobei allerdings welche identisch sein können. Da aber alle Zahlen
\mathl{a,b,c}{} größer als $1$ und untereinander verschieden sind, sind auch die Produkte mit zwei Faktoren untereinander und auch vom Gesamtprodukt verschieden. Ferner sind die Zweierprodukte von allen Zahlen verschieden, die in ihnen vorkommen. Wegen den Größenverhältnissen ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ac }
{ > }{ b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{bc }
{ > }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es kann allenfalls
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c }
{ =} {ab }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} sein. Es gibt also mindestens $7$ Teiler. Wählt man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ = }{8 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{abc }
{ =} { 2 \cdot 4 \cdot 8 }
{ =} { 64 }
{ =} { 2^6 }
{ } { }
} {}{}{,} und dies hat in der Tat sieben Teiler.

}

\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{

}
{/Aufgabe/Lösung }

\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit $p$ Elementen, wobei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} sei. Zeige, dass $R$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.

}
{

Es sei
\mathbed {x \in R} {}
{x \neq 0} {}
{} {} {} {.} Wir betrachten die von $x$ erzeugte additive Untergruppe von $R$. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} handelt es sich nicht um die triviale Gruppe. Da nach dem Satz von Lagrange die Ordnung jeder Untergruppe die Gruppenordnung teilt und diese eine Primzahl ist, erzeugt $x$ schon ganz $R$. Es gibt also insbesondere eine natürliche Zahl $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{nx }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Da jeder Ring die natürlichen Zahlen enthält, bedeutet dies, dass $x$ eine Einheit ist.

}

\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Betrachte die Quadratrestgruppe
\mathdisp {\mathbb Q^\times/\mathbb Q^{\times 2}} { , }
wobei
\mathl{\mathbb Q^{\times 2}}{} die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse
\mathl{x \in \mathbb Q^\times/\mathbb Q^{\times 2}}{} einen Repräsentanten aus $\Z$ gibt.

}
{

Die Restklasse $x$ in der Quadratrestgruppe werde durch
\mathl{q= \frac{n}{m}}{} repräsentiert. Da Quadrate in der Quadratrestgruppe gleich $1$ sind, hat man
\mathl{[q]= [qm^2]= [nm]}{,} d.h. man hat einen Vertreter aus $\Z$. Sei
\mathl{\pm p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}}{} dessen kanonische Primfaktorzerlegung. Durch sukzessive Multiplikation mit den Quadraten \zusatzklammer {in $\Q$} {} {} $p_i^{-2}$ kann man die Exponenten zu $0$ oder zu $1$ machen und erhält einen quadratfreien Repräsentanten.

}

\inputaufgabepunkteloesung
{9}
{

Zeige, dass die diophantische Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^4+y^4 }
{ =} { z^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} keine ganzzahlige nichttriviale Lösung besitzt.

}
{

Es sei
\mathl{(x,y,z)}{} eine nichttriviale Lösung, d.h. alle Einträge sind $\neq 0$. Wir können annehmen, dass alle Einträge sogar positiv sind. Wenn es eine solche Lösung gibt, dann gibt es auch eine nichttriviale Lösung mit minimalem positiven $z$ \zusatzklammer {unter allen nichttrivialen Lösungen} {} {.} Wir zeigen, dass es dann eine Lösung mit kleinerem positiven $z_1$ gibt, was einen Widerspruch bedeutet.

Wegen der Minimalität ist
\mathl{(x,y,z)}{} primitiv, die Einträge sind also \zusatzklammer {sogar paarweise} {} {} teilerfremd. Wir können $x$ als ungerade annehmen. Es ist dann
\mathdisp {(x^2,y^2,z)} { }
ein primitives pythagoreisches Tripel. Daher gibt es nach Fakt teilerfremde natürliche Zahlen $(u,v)$ mit
\mathdisp {x^2=u^2-v^2,\, y^2=2uv,\, z=u^2+v^2} { }
und mit
\mathl{u+v}{} ungerade. Betrachtung der ersten Gleichung modulo $4$ zeigt, dass $u$ ungerade sein muss \zusatzklammer {und $v$ gerade} {} {.} Die erste Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u^2 }
{ =} { x^2+v^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist selbst ein primitives pythagoreisches Tripel. Es gibt als erneut teilerfremde natürliche Zahlen
\mathl{(r,s)}{} mit
\mathdisp {x=r^2-s^2,\, v=2rs ,\,u=r^2+s^2} { }
($x$ ist ungerade, $v$ gerade) mit
\mathl{r+s}{} ist ungerade. Somit sind
\mathl{r,s,r^2+s^2=u}{} paarweise teilerfremd. Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2 }
{ =} { 2uv }
{ =} { 4(r^2+s^2)rs }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ y }{ 2 } \right)^2 }
{ =} {(r^2+s^2)rs }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und aus der Teilerfremdheit der Faktoren folgt, dass die einzelnen Faktoren hier selbst Quadrate sind, also
\mathdisp {r=x_1^2,\, s=y_1^2,\, r^2+s^2=z_1^2} { . }
Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z_1^2 }
{ =} { r^2+s^2 }
{ =} { x_1^4+y_1^4 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine neue nichttriviale Lösung der ursprünglichen Gleichung. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z_1 }
{ \leq} { z_1^2 }
{ =} { r^2+s^2 }
{ =} { u }
{ <} { u^2+v^2 }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { z }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{} widerspricht dies der Minimalität von $z$.