Elementare und algebraische Zahlentheorie/4/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 4 0 3 2 9 0 0 0 0 0 0 0 0 27




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Assoziiertheit von Elementen in einem kommutativen Ring .
  2. Ein Hauptidealbereich.
  3. Ein pythagoreisches Tripel.
  4. Der Grad einer endlichen Körpererweiterung .
  5. Die konvexe Hülle von .
  6. Den Divisor zu einem Ideal in einem Zahlbereich .


Lösung

  1. Zwei Elemente und heißen assoziiert, wenn es eine Einheit derart gibt, dass ist.
  2. Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.
  3. Ein pythagoreisches Tripel ist eine ganzzahlige Lösung der diophantischen Gleichung
  4. Bei einer endlichen Körpererweiterung nennt man die -(Vektorraum-)Dimension von den Grad der Körpererweiterung.
  5. Die kleinste konvexe Teilmenge , die umfasst, heißt die konvexe Hülle von .
  6. Man nennt den Divisor

    mit

    den Divisor zum Ideal .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Charakterisierungssatz für Restklassenringe von mit zyklischer Einheitengruppe.
  2. Der Satz über die Charakterisierung von pythagoreischen Tripeln.
  3. Der Satz über Primideale in einem Zahlbereich.


Lösung

  1. Die Einheitengruppe ist genau dann zyklisch, wenn
    ist, wobei eine ungerade Primzahl und ist.
  2. Sei ein pythagoreisches Tripel mit gerade und . Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze teilerfremde Zahlen mit und und mit
    Das pythagoreische Tripel ist primitiv genau dann, wenn eine Einheit ist und und nicht beide ungerade sind.
  3. Sei ein Zahlbereich. Dann ist jedes von verschiedene Primideal von bereits ein maximales Ideal.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.


Lösung

Wir beweisen die Existenz durch Induktion über .  Für liegt eine Primzahl vor. Bei ist entweder eine Primzahl, und diese bildet die Primfaktorzerlegung, oder aber ist keine Primzahl. In diesem Fall gibt es eine nichttriviale Zerlegung mit kleineren Zahlen . Für diese Zahlen gibt es nach Induktionsvoraussetzung jeweils eine Zerlegung in Primfaktoren, und diese setzen sich zu einer Primfaktorzerlegung für zusammen. 


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien drei verschiedene Zahlen gegeben. Wie viele Teiler besitzt das Produkt minimal?


Lösung

Wir können

annehmen. Das Produkt hat zumindest die Teiler

wobei allerdings welche identisch sein können. Da aber alle Zahlen größer als und untereinander verschieden sind, sind auch die Produkte mit zwei Faktoren untereinander und auch vom Gesamtprodukt verschieden. Ferner sind die Zweierprodukte von allen Zahlen verschieden, die in ihnen vorkommen. Wegen den Größenverhältnissen ist und . Es kann allenfalls

sein. Es gibt also mindestens Teiler. Wählt man , und , so ist

und dies hat in der Tat sieben Teiler.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring mit Elementen, wobei eine Primzahl sei. Zeige, dass ein Körper ist.


Lösung

Es sei , . Wir betrachten die von erzeugte additive Untergruppe von . Wegen handelt es sich nicht um die triviale Gruppe. Da nach dem Satz von Lagrange die Ordnung jeder Untergruppe die Gruppenordnung teilt und diese eine Primzahl ist, erzeugt schon ganz . Es gibt also insbesondere eine natürliche Zahl mit

Da jeder Ring die natürlichen Zahlen enthält, bedeutet dies, dass eine Einheit ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Quadratrestgruppe

wobei die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse einen Repräsentanten aus gibt.


Lösung

Die Restklasse in der Quadratrestgruppe werde durch repräsentiert. Da Quadrate in der Quadratrestgruppe gleich sind, hat man , d.h. man hat einen Vertreter aus . Sei dessen kanonische Primfaktorzerlegung. Durch sukzessive Multiplikation mit den Quadraten (in ) kann man die Exponenten zu oder zu machen und erhält einen quadratfreien Repräsentanten.


Aufgabe (9 Punkte)

Zeige, dass die diophantische Gleichung

keine ganzzahlige nichttriviale Lösung besitzt.


Lösung

Sei eine nichttriviale Lösung, d.h. alle Einträge sind . Wir können annehmen, dass alle Einträge sogar positiv sind. Wenn es eine solche Lösung gibt, dann gibt es auch eine nichttriviale Lösung mit minimalem positiven (unter allen nichttrivialen Lösungen). Wir zeigen, dass es dann eine Lösung mit kleinerem positiven gibt, was einen Widerspruch bedeutet.

Wegen der Minimalität ist primitiv, die Einträge sind also (sogar paarweise) teilerfremd. Wir können als ungerade annehmen. Es ist dann

ein primitives pythagoreisches Tripel. Daher gibt es nach Fakt teilerfremde natürliche Zahlen mit

und mit ungerade. Betrachtung der ersten Gleichung modulo zeigt, dass ungerade sein muss (und gerade). Die erste Gleichung

ist selbst ein primitives pythagoreisches Tripel. Es gibt als erneut teilerfremde natürliche Zahlen mit

( ist ungerade, gerade) mit ist ungerade. Somit sind paarweise teilerfremd. Aus

folgt

und aus der Teilerfremdheit der Faktoren folgt, dass die einzelnen Faktoren hier selbst Quadrate sind, also

Damit ist

eine neue nichttriviale Lösung der ursprünglichen Gleichung. Wegen

widerspricht dies der Minimalität von .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung