Elementare und algebraische Zahlentheorie/6/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 0 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 0 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 0 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 10 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 36 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {Ring} {} $R$.
}{Das \stichwort {Jacobi-Symbol} {.}
}{Die \stichwort {Riemannsche Zetafunktion} {.}
}{Die
\stichwort {Norm} {}
zu einem Element
\mathl{f \in L}{} bei einer
\definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung}{}{}
\mathl{K \subseteq L}{.}
}{Eine \stichwort {quadratfreie} {} Zahl.
}{Die \stichwort {Klassenzahl} {} zu einem \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{} $R$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Ein Ring $R$ ist eine Menge mit zwei
\definitionsverweis {Verknüpfungen}{}{}
\mathkor {} {+} {und} {\cdot} {}
und mit zwei ausgezeichneten Elementen
\mathkor {} {0} {und} {1} {}
derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
\aufzaehlungdrei{
\mathl{(R, +,0)}{} ist eine
\definitionsverweis {abelsche Gruppe}{}{.}
}{
\mathl{(R, \cdot,1)}{} ist ein
\definitionsverweis {Monoid}{}{.}
}{Es gelten die Distributivgesetze, also
\mathkor {} {a \cdot (b+c) = ( a \cdot b) + (a \cdot c)} {und} {(b+c) \cdot a = ( b \cdot a) + (c \cdot a)} {}
für alle
\mathl{a,b,c \in R}{.}}
}{Für eine ungerade Zahl $n$ und eine ganze Zahl $k$ definiert man das Jacobi-Symbol, geschrieben
\mathl{\left(\frac{k}{n}\right)}{,} wie folgt. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{p_1 \cdots p_r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Primfaktorzerlegung von $n$. Dann setzt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(\frac{k}{n}\right)
}
{ \defeq} {\left(\frac{k}{p_1}\right) \cdots \left(\frac{k}{p_r}\right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Riemannsche $\zeta$-Funktion ist für
\mathl{s \in {\mathbb C}}{} mit Realteil
\mathl{\operatorname{Re} \, { \left( s \right) } > 1}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \zeta(s)
}
{ =} { \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^s}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}{Zu
\mathl{f \in L}{} nennt man die Determinante der $K$-linearen Abbildung
\maabbeledisp {\mu_f} {L} {L
} {y} {fy
} {,}
die Norm von $f$.
}{Eine ganze Zahl heißt \stichwort {quadratfrei} {,} wenn jeder Primfaktor von ihr nur mit einem einfachen
\definitionsverweis {Exponenten}{}{}
vorkommt.
}{Man nennt die Anzahl der Elemente in der
\definitionsverweis {Klassengruppe}{}{}
von $R$ die Klassenzahl von $R$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Lemma von Euklid} {} für einen Hauptidealbereich.}{Der Satz über die explizite Beschreibung der quadratischen Zahlbereiche.}{Der Satz über die Darstellung von Hauptidealen in Zahlbereichen.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und
\mathl{a , b , c \in R}{.} Es seien $a$ und $b$ teilerfremd und $a$ teile das Produkt $bc$. Dann teilt $a$ den Faktor $c$.}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{ 0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{}
und $A_D$ der zugehörige
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{.}
Dann gilt
\mathdisp {A_D = {\Z}[\sqrt{D}], \text{ wenn } D= 2,3 \mod 4} { }
und
\mathdisp {A_D= {\Z}[ { \frac{ 1+\sqrt{D} }{ 2 } } ], \text{ wenn } D= 1 \mod 4} { . }
}{\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine Produktdarstellung für das
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f)
}
{ =} { {\mathfrak p}_1^{r_1} \cdots {\mathfrak p}_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\zusatzklammer {bis auf die Reihenfolge} {} {}
eindeutig bestimmten
\definitionsverweis {Primidealen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}_i
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus $R$ und eindeutig bestimmten Exponenten
\mathbed {r_i} {}
{i= 1 , \ldots , k} {}
{} {} {} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Berechne
\mathl{3^{1457}}{} in
\mathl{{\mathbb Z}/(13)}{.}
}
{
Modulo $12$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1457
}
{ =} {257
}
{ =} {17
}
{ =} {5
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher ist in
\mathl{\Z/(13)}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3^{1457}
}
{ =} {3^5
}
{ =} { 9 \cdot 9 \cdot 3
}
{ =} { 9 \cdot 27
}
{ =} { 9
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme in $\Z[{ \mathrm i}]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von
\mathl{5+2{ \mathrm i}}{} und
\mathl{3+7{ \mathrm i}}{.}
}
{
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ 5+2{\mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{ 3+7{\mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und führen die Division mit Rest $a$ durch $b$ durch. Es ist
\zusatzklammer {in ${\mathbb C}$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{a}{b}
}
{ =} { \frac{5+2{\mathrm i} }{3+7{\mathrm i} }
}
{ =} { \frac{(5+2{\mathrm i})(3-7{\mathrm i})}{(3+7{\mathrm i})(3-7{\mathrm i})}
}
{ =} { \frac{29-29 {\mathrm i} }{58}
}
{ =} { \frac{1}{2} - \frac{1}{2} {\mathrm i}
}
}
{}{}{.}
Für diese Zahl ist $0$ eine beste ganzzahlige Approximation, wir nehmen also
\mathl{q=0}{} und erhalten
\mathl{a =0b+a}{.} Wir drehen also die Sache um und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{b}{a}
}
{ =} { \frac{3+7{\mathrm i} }{5+2{\mathrm i} }
}
{ =} { \frac{(3+7{\mathrm i})(5-2{\mathrm i})}{(5+2{\mathrm i})(5-2{\mathrm i})}
}
{ =} { \frac{29 +29{\mathrm i} }{29}
}
{ =} { 1 + {\mathrm i}
}
}
{}{}{.}
Das Ergebnis ist also eine ganze Gaußsche Zahl, und $a$ teilt daher $b$. Also ist
\mathl{a=5+2{\mathrm i}}{} der größte gemeinsame Teiler.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Berechne in
\mathdisp {\Z/(7)[X]/(X^3+4X^2+X+5)} { }
das Produkt
\mathdisp {(2x^2+5x+3) \cdot (3x^2+x+6)} { }
\zusatzklammer {$x$ bezeichne die Restklasse von $X$} {} {.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^3
}
{ =} {3x^2+6x +2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x^4
}
{ =} {x( 3x^2+6x +2 )
}
{ =} {3x^3 +6x^2 +2x
}
{ =} {3 (3x^2+6x +2)+6x^2 +2x
}
{ =} {x^2 +6x +6
}
}
{}
{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{(2x^2+5x+3) \cdot (3x^2+x+6)
}
{ =} { 6x^4 +3 x^3 + 5 x^2 + 5 x +4
}
{ =} { 6(x^2 +6x +6) +3 (3x^2+6x +2)+ 5 x^2 + 5 x +4
}
{ =} { 6x^2 +3x +4
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl
\mathl{n^2-1}{} eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{?}
}
{
Es gilt generell die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n^2-1
}
{ =} {(n-1)(n+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mathl{n \geq 3}{} sind beide Faktoren
\mathl{\geq 2}{} und daher kann $n^2-1$ nicht prim sein. Bei
\mathl{n=2}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^2-1
}
{ =} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Primzahl. Bei
\mathl{n=0,1}{} liegt keine Primzahl vor.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo $4$ den Rest $1$ besitzen.
}
{
Wir ziehen
Fakt
heran, wonach eine ungerade Primzahl $p$ genau dann den Rest $1$ modulo $4$ besitzt, wenn $-1$ eine Quadratwurzel in
\mathl{\Z/(p)}{} ist. Nehmen wir an, dass es nur endlich viele Primzahlen
\mathl{p_1 , \ldots , p_k}{} von diesem Typ gibt. Wir betrachten das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^2+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(2p_1 \cdots p_k )
}
{ =} { 4(p_1 \cdots p_k )^2+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt einen Primteiler $q$, der von allen $p_i$ und von $2$ verschieden ist. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(2 p_1 \cdots p_k )
}
{ =} { 0 \mod q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Doch dies bedeutet, dass
\mathl{f(x)}{} eine Nullstelle modulo $q$ besitzt und somit ist $-1$ ein Quadrat modulo $q$, also hat $q$ den Rest $1$ modulo $4$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativer Ringe mit $6$ Elementen.
}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit sechs Elementen und sei
\maabb {} {\Z} {R
} {}
der kanonische Ringhomomorphismus, der $1$ auf $1$ schickt. Die
\zusatzklammer {additive} {} {}
Ordnung der $1$ in $R$
\zusatzklammer {also die Charakteristik von $R$} {} {}
ist ein Teiler von $6$. Die Ordnung eins ist nicht möglich, das wäre der Nullring. Bei Ordnung $2$
\zusatzklammer {oder $3$} {} {}
wäre $R$ eine ${\mathbb F}_2$
\zusatzklammer {bzw. ${\mathbb F}_3$} {-} {}Algebra, also insbesondere ein Vektorraum über diesem Körper. Dann müsste aber die Anzahl eine Primzahlpotenz sein, was nicht der Fall ist. Also ist die Ordnung $6$ und der kanonische Homomorphismus ist surjektiv, also
\mathl{R \cong \Z/(6)}{,} und dies ist der einzige kommutative Ring mit sechs Elementen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{10}
{
Beweise den Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.
}
{
(1) $\Rightarrow$ (2). Wir betrachten die von den Potenzen von $x$ erzeugte $R$-Unteralgebra
\mathl{R[x]}{} von $S$, die aus allen polynomialen Ausdrücken in $x$ mit Koeffizienten aus $R$ besteht. Aus einer Ganzheitsgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^n+ r_{n-1}x^{n-1} + r_{n-2}x^{n-2} + \cdots + r_1x +r_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^n
}
{ =} { - r_{n-1}x^{n-1} - r_{n-2}x^{n-2} - \cdots - r_1x -r_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Man kann also $x^n$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ausdrücken. Durch Multiplikation dieser letzten Gleichung mit $x^{i}$ kann man jede Potenz von $x$ mit einem Exponenten $\geq n$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ersetzen. Insgesamt kann man dann aber all diese Potenzen durch polynomiale Ausdrücke vom Grad
\mathl{\leq n-1}{} ersetzen. Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R[x]
}
{ =} { R + Rx + Rx^2 + \cdots + Rx^{n-2} + Rx^{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Potenzen
\mathl{x^0=1,x^1,x^2 , \ldots , x^{n-1}}{} bilden ein endliches Erzeugendensystem von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ = }{ R[x]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
(2) $\Rightarrow$ (3). Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{T
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
$T$ eine $R$-Unteralgebra, die als $R$-Modul endlich erzeugt sei. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xT
}
{ \subseteq }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und $T$ enthält den Nichtnullteiler $1$.
(3) $\Rightarrow$ (1). Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein endlich erzeugter $R$-Untermodul mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xM
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es seien
\mathl{y_1 , \ldots , y_n}{} erzeugende Elemente von $M$. Dann ist insbesondere
\mathl{xy_i}{} für jedes $i$ eine $R$-Linearkombination der \mathind { y_j } { j=1 , \ldots , n }{.} Dies bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x y_i
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n r_{ij} y_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r_{ij}
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
oder, als Matrix geschrieben,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x \begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ \vdots\\y_n \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} r_{1,1} & r_{1,2} & \ldots & r_{1,n} \\ r_{2,1} & r_{2,2} & \ldots & r_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_{n,1} & r_{n,2} & \ldots & r_{n,n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ \vdots\\y_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies schreiben wir als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} { \begin{pmatrix} x-r_{1,1} & - r_{1,2} & \ldots & - r_{1,n} \\ - r_{2,1} & x -r_{2,2} & \ldots & - r_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -r_{n,1} & - r_{n,2} & \ldots & x- r_{n,n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ \vdots\\y_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nennen wir diese Matrix $A$
\zusatzklammer {die Einträge sind aus $S$} {} {,}
und sei
\mathl{A^{ \operatorname{adj} }}{} die
\definitionsverweis {adjungierte Matrix}{}{.}
Dann gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A^{ \operatorname{adj} } A y
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {$y$ bezeichne den Vektor \mathlk{(y_1 , \ldots , y_n)}{}} {} {}
und
nach der Cramerschen Regel
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A^{ \operatorname{adj} } A
}
{ = }{ (\det A )E_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ((\det A ) E_n) y
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\det A ) y_j
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $j$ und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\det A ) z
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $M$ nach Voraussetzung einen Nichtnullteiler enthält, muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \det A
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in $x$ vom Grad $n$, so dass eine Ganzheitsgleichung vorliegt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}