Elementare und algebraische Zahlentheorie/6/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 0 2 3 3 2 0 5 0 5 10 0 0 0 0 36




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Ring .
  2. Das Jacobi-Symbol.
  3. Die Riemannsche Zetafunktion.
  4. Die Norm zu einem Element bei einer endlichen Körpererweiterung .
  5. Eine quadratfreie Zahl.
  6. Die Klassenzahl zu einem quadratischen Zahlbereich .


Lösung

  1. Ein Ring ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen und und mit zwei ausgezeichneten Elementen und derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
    1. ist eine abelsche Gruppe.
    2. ist ein Monoid.
    3. Es gelten die Distributivgesetze, also und für alle .
  2. Für eine ungerade Zahl und eine ganze Zahl definiert man das Jacobi-Symbol, geschrieben , wie folgt. Es sei die Primfaktorzerlegung von . Dann setzt man
  3. Die Riemannsche -Funktion ist für mit Realteil durch

    definiert.

  4. Zu nennt man die Determinante der -linearen Abbildung

    die Norm von .

  5. Eine ganze Zahl heißt quadratfrei, wenn jeder Primfaktor von ihr nur mit einem einfachen Exponenten vorkommt.
  6. Man nennt die Anzahl der Elemente in der Klassengruppe von die Klassenzahl von .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
  2. Der Satz über die explizite Beschreibung der quadratischen Zahlbereiche.
  3. Der Satz über die Darstellung von Hauptidealen in Zahlbereichen.


Lösung

  1. Sei ein Hauptidealbereich und . Es seien und teilerfremd und teile das Produkt . Dann teilt den Faktor .
  2. Es sei eine quadratfreie Zahl und der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann gilt

    und

  3. Es sei ein [[{{:MDLUL/MDLUL/|opt=Ziel}}|]] und , . Dann gibt es eine Produktdarstellung für das [[{{:MDLUL/MDLUL/|opt=Ziel}}|]]

    mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten [[{{:MDLUL/MDLUL/|opt=Ziel}}|]] aus und eindeutig bestimmten Exponenten

    , Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle {{}} i= 1 {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>|}} k} .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne in .


Lösung

Modulo ist

und daher ist in


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Lösung

Wir setzen und und führen die Division mit Rest durch durch. Es ist (in )

Für diese Zahl ist eine beste ganzzahlige Approximation, wir nehmen also und erhalten . Wir drehen also die Sache um und erhalten

Das Ergebnis ist also eine ganze Gaußsche Zahl, und teilt daher . Also ist der größte gemeinsame Teiler.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne in

das Produkt

( bezeichne die Restklasse von ).


Lösung

Es ist

und

Daher ist


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl eine Primzahl?


Lösung

Es gilt generell die Zerlegung

Bei sind beide Faktoren und daher kann nicht prim sein. Bei ist

eine Primzahl. Bei liegt keine Primzahl vor.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo den Rest besitzen.


Lösung

Wir ziehen Fakt heran, wonach eine ungerade Primzahl genau dann den Rest modulo besitzt, wenn eine Quadratwurzel in ist. Nehmen wir an, dass es nur endlich viele Primzahlen von diesem Typ gibt. Wir betrachten das Polynom

Die Zahl

besitzt einen Primteiler , der von allen und von verschieden ist. Es ist

Doch dies bedeutet, dass eine Nullstelle modulo besitzt und somit ist ein Quadrat modulo , also hat den Rest modulo .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativer Ringe mit Elementen.


Lösung

Sei ein kommutativer Ring mit sechs Elementen und sei der kanonische Ringhomomorphismus, der auf schickt. Die (additive) Ordnung der in (also die Charakteristik von ) ist ein Teiler von . Die Ordnung eins ist nicht möglich, das wäre der Nullring. Bei Ordnung (oder ) wäre eine (bzw. -)Algebra, also insbesondere ein Vektorraum über diesem Körper. Dann müsste aber die Anzahl eine Primzahlpotenz sein, was nicht der Fall ist. Also ist die Ordnung und der kanonische Homomorphismus ist surjektiv, also , und dies ist der einzige kommutative Ring mit sechs Elementen.


Aufgabe (10 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.


Lösung

(1) (2). Wir betrachten die von den Potenzen von erzeugte -Unteralgebra von , die aus allen polynomialen Ausdrücken in mit Koeffizienten aus besteht. Aus einer Ganzheitsgleichung

ergibt sich

Man kann also durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ausdrücken. Durch Multiplikation dieser letzten Gleichung mit kann man jede Potenz von mit einem Exponenten durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ersetzen. Insgesamt kann man dann aber all diese Potenzen durch polynomiale Ausdrücke vom Grad ersetzen. Damit ist

und die Potenzen bilden ein endliches Erzeugendensystem von .

(2) (3). Sei , eine -Unteralgebra, die als -Modul endlich erzeugt sei. Dann ist , und enthält den Nichtnullteiler .

(3) (1). Sei ein endlich erzeugter -Untermodul mit . Seien erzeugende Elemente von . Dann ist insbesondere für jedes eine -Linearkombination der . Dies bedeutet

mit , oder, als Matrix geschrieben,

Dies schreiben wir als

Nennen wir diese Matrix (die Einträge sind aus ), und sei die adjungierte Matrix. Dann gilt ( bezeichne den Vektor ) und nach der Cramerschen Regel ist , also gilt . Es ist also für alle und damit

für alle . Da nach Voraussetzung einen Nichtnullteiler enthält, muss sein. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in vom Grad , so dass eine Ganzheitsgleichung vorliegt.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung