Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe/Lösung

1. Das Element ${}p$ heißt prim, wenn es eine Nichteinheit ist und wenn folgendes gilt: Teilt ${}p$ ein Produkt ${}ab$ mit ${}a,b\in R$, so teilt es einen der Faktoren.
2. Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeichnet ${}{\varphi (n)}$ die Anzahl der Elemente von ${}(\mathbb {Z} /(n))^{\times }$.
3. Die für ${}x\in \mathbb {R}$ definierte Funktion

   $x\longmapsto \pi (x):={\#\left({\left\{p\leq x\mid p{\text{ Primzahl}}\right\}}\right)}$

   heißt Primzahlfunktion.

4. Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt lokal, wenn ${}R$ genau ein maximales Ideal besitzt.
5. Zu ${}q\in Q(R)$, ${}q\neq 0$, heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ in ${}R$ die Ordnung ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(q)$ zuordnet, der durch ${}q$ definierte Hauptdivisor.
6. Eine quadratische Form auf einem ${}R$-Modul ${}L$ ist eine Abbildung

   $Q\colon L\longrightarrow R,$

   die die beiden Eigenschaften

   1. ${}Q(rv)=r^{2}Q(v)\,$

      für alle ${}r\in R$ und ${}v\in L$,

   2. ${}Q(u+v)+Q(u-v)=2Q(u)+2Q(v)\,$

      für alle ${}u,v\in L$,

   erfüllt.

Zur gelösten Aufgabe