Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

1. Für eine ungerade Primzahl ${}p$ gilt:

   ${}\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}1\,,{\text{ falls }}p=1\mod 4\,,\\-1\,,{\text{ sonst }}{\text{(also bei }}p=3\mod 4{\mbox{)}}\,.\end{cases}}\,$

2. Die diophantische Gleichung

   ${}x^{4}+y^{4}=z^{2}\,$

   hat keine ganzzahlige nichttriviale Lösung.
3. Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich ${}R$ ist der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ endlich.

Zur gelösten Aufgabe