Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

1. Es seien $p$ und $q$ zwei verschiedene ungerade Primzahlen. Dann gilt:

   $\left(\frac{p}{q}\right)\cdot \left(\frac{q}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}\cdot \frac{q-1}{2}}=\{\begin{array}{c}-1,\text{ wenn }p=q=3mod4,\\ 1,\text{ sonst}.\end{array}$

2. Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und seien $b_1,\dots ,b_n$ und $c_1,\dots ,c_n$ $K$-Basen von $L$. Der Basiswechsel werde durch  $c=Tb$  mit der Übergangsmatrix  $T={\left(t_{ij}\right)}_{ij}$  beschrieben. Dann gilt für die Diskriminanten die Beziehung

   $\Delta (c_1,\dots ,c_n)=(det(T){)}^2\Delta (b_1,\dots ,b_n).$

3. Es sei $R$ ein Zahlbereich. Dann sind die Zuordnungen

   $𝔞⟼\mathrm{div}(𝔞)\text{ und }D⟼\mathrm{Id}(D)$

   zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der von $0$ verschiedenen Ideale und der Menge der effektiven Divisoren.

   Diese Bijektion übersetzt das Produkt von Idealen in die Summe von Divisoren.

Zur gelösten Aufgabe