Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Isogenie/Identität und Frobenius/Kombination/Separabel/Fakt/Beweis

Beweis

Unter Verwendung von Fakt, Fakt und Fakt gilt für jede Differentialform ${}\omega$ die Gleichheit

${}([m]+n\Phi )^{*}\omega =m\omega +n\Phi ^{*}\omega =m\omega \,.$

Bei ${}\omega \neq 0$ ist dies genau dann gleich ${}0$, wenn ${}m=0$ ist, was bedeutet, dass ${}m$ ein Vielfaches von ${}p$ ist. Es liegt also die Alternative vor, dass bei ${}m=0$ in ${}K$ der Rückzug der Differentialformen die Nullabbildung ist und bei ${}m\neq 0$ aber surjektiv. Wegen Fakt entspricht dies den Fällen, dass der relative Kählermodul ungleich oder gleich ${}0$ ist, was nach Fakt die (Nicht-)separabilität der Erweiterung der Funktionenkörper charakterisiert.

Zur bewiesenen Aussage