Elliptische Kurve/Funktionenkörper/Erweiterung über X/Grad/Fakt

Es seien ${}E_{1}$ und ${}E_{2}$ elliptische Kurven über einem Körper ${}K$. Es sei

${}y^{2}=x^{3}+ax+b\,$

die Gleichung von ${}E_{1}$ und

${}v^{2}=u^{3}+cu+d\,$

die Gleichung von ${}E_{2}$. Es seien ${}f,q\in K(X)$ rationale Funktionen mit

${}q^{2}(x^{3}+ax+b)=f^{3}+cf+d\,,$

${}f$ nicht konstant, und sei

$\theta \colon E_{1}\longrightarrow E_{2},\,(x,y)\longmapsto (f(x),q(x)y)$

der zugehörige Morphismus im Sinne von Fakt.

Dann ist der Grad von ${}\theta$ gleich dem Maximum des Grades von Zähler und Nenner von ${}f$ in einer gekürzten Darstellung.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen