Elliptische Kurve/Isogenie/Tate-Modul/Determinante/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über dem Körper $K$, es sei

$\phi :E⟶E$

eine Isogenie und es sei $\ell$ eine von der Charakteristik von $K$ verschiedene Primzahl. Es sei

${\phi }_{\ell }:T_{\ell }(E)⟶T_{\ell }(E)$

die induzierte ${\mathbb{Z}}_{\ell }$-lineare Abbildung auf dem $\ell$-adischen Tate-Modul. Dann gelten die folgenden Aussagen.

1. Es ist

   $det\left({\phi }_{\ell }\right)=\mathrm{Grad}(\phi ).$

2. Es ist

   $\mathrm{Spur}\left({\phi }_{\ell }\right)=1+\mathrm{Grad}(\phi )-\mathrm{Grad}({\mathrm{Id}}_E-\phi ).$

3. Das charakteristische Polynom von ${\phi }_{\ell }$ ist

   $T^2-(1+\mathrm{Grad}(\phi )-\mathrm{Grad}({\mathrm{Id}}_E-\phi ))T+\mathrm{Grad}(\phi ).$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen