Elliptische Kurve/Modulo 2/Körpererweiterung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen, dass der Kern ${}H$ der natürlichen Abbildung

$E(K)/2E(K)\longrightarrow E(L)/2E(L)$

endlich ist, woraus die Behauptung folgt. Es sei ${}\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(L)\right)}$ die Untergruppe der Torsionselemente zur Ordnung ${}2$, die nach Fakt endlich ist und es sei ${}G$ die Galoisgruppe von ${}L$ über ${}K$. Es sei ${}P\in H$, repräsentiert durch ${}P\in E(K)$. Nach Voraussetzung ist ${}P$ in ${}E(L)$ das Doppelte eines Punktes ${}Q\in E(L)$. Wir wählen zu jedem ${}P$ einen solchen Punkt ${}Q$ und definieren damit die Abbildung

$\theta _{P}\colon G\longrightarrow \operatorname {Tor} _{2}{\left(E(L)\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi ^{*}(Q)-Q,$

wobei wir die zu ${}\varphi$ gehörigen Automorphismen ${}\varphi ^{*}$ auf der Kurve betrachten, siehe Aufgabe. Wir behaupten, dass die Zuordnung

$H\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(G,\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(L)\right)}\right)},\,P\longmapsto \theta _{p},$

injektiv ist. Es seien also ${}P,P'\in H$, repräsentiert von ${}P,P'\in E(K)$ und mit Halbierungspunkten ${}Q,Q'\in E(L)$. Die Gleichheit ${}\theta _{P}=\theta _{P'}$ bedeutet

${}\varphi ^{*}(Q)-Q=\varphi ^{*}(Q')-Q'\,$

für alle ${}\varphi \in G$. Dies bedeutet nach Aufgabe

${}\varphi ^{*}(Q'-Q)=Q'-Q\,$

für alle ${}\varphi \in G$. D.h., dass ${}Q'-Q$ invariant unter der Galoisgruppe ist und daher gemäß Aufgabe zu ${}E(K)$ gehört. Also ist

${}P'-P=2Q'-2Q=2(Q'-Q)\,$

und somit ist ${}[P']=[P]$ in ${}E(K)/2E(K)$. Wegen der Endlichkeit der Abbildungsmenge zwischen den endlichen Mengen ${}G$ und ${}\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(L)\right)}$ ist auch ${}E(K)/2E(K)$ endlich.

Zur bewiesenen Aussage