Elliptische Kurve/Q/L-Funktion/Birch Swinnerton-Dyer/Heuristik/Bemerkung

Eine heuristische Überlegung, die zumindest einen Zusammenhang zwischen einem positiven gruppentheoretischen Rang und einem positiven analytischen Rang vorstellbar macht, geht folgendermaßen. Die durch ganzzahlige Koeffizienten gegebene elliptische Kurve ${}E$ besitze einen positiven Gruppenrang, also neben der Torsion eine ${}\mathbb {Z}$-Komponente. Unter der Reduktionsabbildung, siehe Fakt und Fakt, wird ${}E(\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} ^{r}\times T$ auf die endliche Gruppe ${}E(\mathbb {Z} /(p))$ abgebildet. Die Anzahl von ${}E(\mathbb {Z} /(p))$ ist nach Fakt in der Größenordnung von ${}p+1$ mit einer Abweichung von maximal ${}2{\sqrt {p}}$. Grundsätzlich gibt es keine Tendenz, ob die Anzahl sich eher oberhalb von ${}p+1$ oder eher unterhalb davon befindet. Bei ${}r\geq 1$ kann man sich aber vorstellen, dass das Bild von ${}\mathbb {Z} ^{r}$ tendenziell dazu führt, dass die Anzahlen sich eher oberhalb von ${}p+1$ bewegen. Wenn wir die Produktdarstellung für ${}s=1$ anschauen, so sind die Faktoren (es kommt nicht auf die endlich vielen Faktoren zu den Primzahlen mit schlechter Reduktion an) gleich

${}{\frac {1}{1-a_{p}p^{-1}+p^{-1}}}={\frac {p}{p-a_{p}+1}}={\frac {p}{\#\left(E_{p}(\mathbb {Z} /(p))\right)}}\,.$

Wenn hier die Nenner tendenziell größer als ${}p+1$ sind, so sind die Faktoren tendenziell „deutlich“ kleiner als ${}1$, was im unendlichen Produkt zu einer (höheren) Nullstelle führen könnte.